problème suite (TS)

[animaru]

alors voila,
je doit démontrer par récurrence que pour tout n > 0 on a Un- √2 < (2/(2^2^n)
pour cela, dans les question précédentes, on sais que:

• √2 < Un+1 < Un,
• Un+1 -√2=(Un-√2)²/2Un
  on a également Uo=2 et Un+1= (1/2)(Un+(2/Un))

j'ai un début de raisonnement mais je n'aboutit pas (j'arrive a (Un-√2)²/2Un < ((4^2n)(2Un))/4 )

Ensuite il faut que j'en déduise la limite de la suite (Un) mais je ne comprend pas comment.

Enfin je doit calculer U6 et donner un ordre de grandeur de l'approximation de √2 obtenu. (je ne comprend pas du tout cette question).

voila merci d'avance pour votre aide.

[Zorro]

Bonjour,

Ce qu'il faut démontrer c'est vraiment :

$u_n,-,\sqrt{2},\prec ,\frac{2}{,2^{2^n},}$

[animaru]

oui c'est bien $u_n,-,\sqrt{2},\prec ,\frac{2}{,2^{2^n},}$

• qu'il faut démontrer par récurence *

[Zorro]

Alors on y va pour la récurrence :

1° Initialisation : A-t-on $u_0,-,\sqrt{2},\prec ,\frac{2}{,2^{2^0},}$

2° Hérédité : en partant de l'hypothèse $u_n,-,\sqrt{2},\prec ,\frac{2}{,2^{2^n},}$ ,

peut - on démontrer que $u_{n+1},-,\sqrt{2},\prec ,\frac{2}{,2^{2^{n+1}},}$ ?

[animaru]

en fait j'ai comprit ce que je devait démontrer à l'hérédité mais je n'y arrive pas:

je fait :
((Un-√$2{)}^2$)/(2Un) < $(2/((2^2$) $$^{n+1}$)^2$
je développe:
(Un-√2)^2/2Un < $4/(4^{2n+1}$)/2Un
et je bloque a :
(Un-√$2{)}^2$/2Un < $(4^{2n+1}$ × 2Un)/4

mais je ne sais pas si c'est juste comme raisonnement
j'ai mit $2/((2$^2${)}^n$ au carré car mon prof m'a dit de le faire.
j'ai édité avec les puissance on voit déjà mieux , si quelqu'un peut m'aider merci d'avance.

[Zorro]

Pour écrire les puissances , 2 solutions :

1- LaTeX , avec Ajoute une formule mathématique (clique c'est un lien ! )

2- Avec le bouton Exposant sous le cadre de saisie

Pour écrire les indices , 2 solutions :

1- LaTeX , avec Ajoute une formule mathématique (clique c'est un lien ! )

2- Avec le bouton Indice sous le cadre de saisie