3. Dm : Entiers naturels et carrés parfaits, puissances et racine carrée de 2

Dm : Entiers naturels et carrés parfaits, puissances et racine carrée de 2

  • M

    Exercice 1 :

    Soit n un entier naturel et N le nombre défini par :
    N = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

    1. Calculer N pour n=1 et vérifier qu'alors N est un carré parfait, c'est-à-dire que N est le carré d'un nombre entier.

    2. L'entier n étant de nouveau quelqueconque, on pose x = n(n+3)

    (a) Vérifier que (n+1)(n+2) =n(n+3)+2

    (b) Utiliser la réponse à la question précédente pour exprimer N en fonction de x seulement.

    (c) Déduire de la réponse précédente que, quel que soit n, N est un carré parfait.

    1. Application numérique : de quel nombre la somme 10x11x12x13+1 est-elle le carré ?

    Exercice 2

    1. Montrer que pour tout entier relatif n:8(exposant n+1) + 8(exposant n) = 8(exposant n) x 9

    2. En remarquant que 8 = 2³, écrire 8(exposant n+1) + 8 (exosant N), à l'aide de puissance de 2 et de 3 seulement.

    Exercice 3

    On veut montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel. Supposons que √2 soit un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls a et b tels que : √2 = a/b, la fraction a/b étant irréductible. On a alors en élevant au carré,
    2 = a²/b² soit a² = 2b²

    1. Montrer que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.

    2. Montrer que a² est pair et en déduire, en utilisant la question 1, que a est pair.

    3. Le nombre a étant pair, on pose a=2c (c entier non nul). Montrer que b est pair.

    4. Conclure.

    Mes propres réflexions.

    Exercice 1.

    1. Je trouve N = 25, donc 5².

    2. Je n'arrive pas à trouver le bon résultat, donc la suite est impossible à réaliser pour moi.

    3. Je trouve 17161, donc 131² mais faut-il justifier ? car je trouve ce résultat grâce à la calculatrice.

    Exercice 2.

    1. Faut-il le démontrer à travers des exemples ? Et combien ?

    Même à travers n = 2, je trouve : 8³ + 8² = 8² x 9 et le résultat ne marche pas ... Comment faire ?

    1. Je ne comprends pas

    Exercice 3.

    1. Exemple : 7² = 49 ou 5² = 25

    Incompréhension pour le reste ....

    Besoin d'aide en urgence !!

    😞

    Merci 🙂

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Bonjour et bienvenue sur ce forum,

    Si tu avais lu le message écrit en rouge dans la page d'accueil : Poster son 1er message ici , tu saurais qu'un fil de discussion ne doit contenir qu'un énoncé.

    Alors je verrouille celui-ci , le temps nécessaire à faire des copier-coller dans 3 nouvelles discussions !

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