Démontrer des propriétés dans le plan complexe

Voici un exo sur les transformation du plan avec les complexes.

Les solutions que j'ai trouvées se trouvent après l'exo.

J'ai des doutes sur le 2)a) , sur le 4) et le 5)

Si quelqu'un a la gentillesse de jeter un oeil d'expert ça serait sympa !

Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O,u,v) direct. Soit A le point d'affixe i
et B le point d'affixe -i.

Soit f la fonction définie sur C - {i} par f(z) = (1 - iz) / (z - i)

Vérifier que pour tout z de C - {i}, f(z) = -i + 2/(z - i)
a) Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f.

b) Déterminer les antécédents de 0 et i par f.

A tout point M différent de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que

z'=f(z).

a) Démontrer que pour tout M différent de A, le produit des longueurs AM et BM'
est égal à 2.

b) Démontrer que lorsque M décrit le cercle de centre A et de rayon 4, M' se déplace
sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon.

a) Déterminer l'ensemble E des points M(z) tels que z - i soit un nombre réel non nul.

b) Déterminer que lorsque M décrit E, M' se déplace sur une droite (delta) que l'on
précisera.

c) Lorsque M décrit E, M' décrit-il toute la droite (delta) ?

Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur non nul.

Mes solutions si tant est qu'elles soient bonnes !

f(z) = -i + 2/(z - i) = (-i(z - i) + 2) / (z - i ) = (-iz - 1 + 2) / (z - i) = (1 - iz) / (z - i)
a) si -i admettait un antécédent par f on aurait

-i + 2/(z - i) = -i qui équivaut à 2 / (z - i) = 0 or a/b=0 si a=0 et b différent de 0

donc 2 / (z - i) = 0 n'a pas de solution et -i pas d'antécédent par f.

b) - Antécédent de 0 : -i + 2 / (z - i) = 0 d'où i = 2 / (z - i) il vient zi = 1

donc z = 1/i = -i, il s'agit du point B

Antécédent de i : -i + 2 / (z - i) = i d'où -2i + 2/(z - i) = 0

il vient iz = 0 donc z = 0

a) AM x BM' = mod(Z AM) x mod (Z BM') = mod ( Z AM x Z BM') or pour tout z différent de i

on a AM x BM' = mod( (z - i) x (-i + 2/(z - i) + i)) = mod (2) = 2

b) M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4 équivaut à AM = 4 or AM x BM' = 2

d'où BM' = 1/2 donc M' décrit un cercle de centre B d'affixe -i et de rayon 1/2.

a) En posant z = x + iy on obtient z - i = x + i(y-1) pour que z - i soit réel ou nul

il faut que i(y - 1) = 0 et x différent de 0 donc y vaut 1. Il s'agit de la droite

d'équation y = 1 privée du point x = 0.

b) M' est le point d'affixe z' avec z'=f(z) soit z' = -i + 2 / (z - i) or quand M décrit

E, z - i = x donc pour x différent de 0 on a z' = 2/x - i, il s'agit des points

M'( x/2 ; -1 ) donc de la droite (delta) d'équation y = -1 privée du point B d'affixe -i.

c) L'ensemble E est constitué des points M( x ; 1 ) avec x différent de 0, or les points

M'( x/2 ; -1 ) sont également définis quand x différent de 0 donc quand M décrit E,

M' décrit la droite (delta).

Pour que f(z) soit un imaginaire pur non nul, il faut que sa partie réelle soit nulle

et sa partie imaginaire non nulle.

J'arrive à f(z) = (2x(1 - y)) / (x2 + (y - 1)²) + i (x² - (y - 1)²) / (x2 + (y - 1)²)

En posant un systéme d'équations, j'ai l'impression qu'il s'agit de l'ensemble nul

Mais j'ai vraiment des doutes sur ma méthode ...

Salut.
Emeline
Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O,u,v) direct. Soit A le point d'affixe i
et B le point d'affixe -i.

Soit f la fonction définie sur C - {i} par f(z) = (1 - iz) / (z - i)

Vérifier que pour tout z de C - {i}, f(z) = -i + 2/(z - i)

tu as répondu :
1)f(z)=
= -i + 2/(z - i) = (-i(z - i) + 2) / (z - i ) = (-iz - 1 + 2) / (z - i) = (1 - iz) / (z - i)
Il est maladroit d'écrire "f(z)=" ce que tu veux obtenir, en 1er !
Part simplement de "-i + 2/(z - i)" que tu transformes jusqu'à obtenir f(z) à la fin.
Ce n'est qu'à la fin que tu pourras encadrer "f(z) = -i + 2/(z - i)" !
De plus commence par écrire "soit un nombre complexe z diff/ i" comme ça tu seras tranquille...

Emeline (bis)
2) a) Démontrer que -i n'a pas d'antécédent par f.

b) Déterminer les antécédents de 0 et i par f.

tu as répondu :
2) a) si -i admettait un antécédent par f on aurait

-i + 2/(z - i) = -i qui équivaut à 2 / (z - i) = 0 or a/b=0 si a=0 et b différent de 0

donc 2 / (z - i) = 0 n'a pas de solution et -i pas d'antécédent par f.

b) - Antécédent de 0 : -i + 2 / (z - i) = 0 d'où i = 2 / (z - i) il vient zi = 1

donc z = 1/i = -i, il s'agit du point B

Antécédent de i : -i + 2 / (z - i) = i d'où -2i + 2/(z - i) = 0

il vient iz = 0 donc z = 0

Pour 2a), il faut prendre la précaution de dire
"si .... alors il existerait un certain z diff/ i tel que ... "
Et de plus :
"a/b= 0 si et seulement si ..."

Pour 2b), ok.

Emeline (ter)
3) A tout point M différent de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que
z'=f(z).
a) Démontrer que pour tout M différent de A, le produit des longueurs AM et BM'
est égal à 2.
b) Démontrer que lorsque M décrit le cercle de centre A et de rayon 4, M' se déplace sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon.

tu as répondu :
3) a) AM x BM' = mod(Z AM) x mod (Z BM') = mod ( Z AM x Z BM') or pour tout z diff/ i
on a AM x BM' = mod( (z - i) x (-i + 2/(z - i) + i)) = mod (2) = 2

b) M décrit le cercle C de centre A et de rayon 4 équivaut à AM = 4 or AM x BM' = 2
d'où BM' = 1/2 donc M' décrit un cercle de centre B d'affixe -i et de rayon 1/2.

Rien à dire. Peut-être que le calcul des affixes de AM $→^\rightarrow$ et BM $→^\rightarrow$ gagnerait à être montré en dehors du calcul de AM foi/ BM...

Emeline (quar)
4) a) Déterminer l'ensemble E des points M(z) tels que z - i soit un nombre réel non nul.

b) Déterminer que lorsque M décrit E, M' se déplace sur une droite (delta) que l'on précisera.

c) Lorsque M décrit E, M' décrit-il toute la droite (delta) ?

tu as répondu :
4) a) En posant z = x + iy on obtient z - i = x + i(y-1) pour que z - i soit réel ou nul
il faut que i(y - 1) = 0 et x différent de 0 donc y vaut 1. Il s'agit de la droite d'équation y = 1 privée du point x = 0.

b) M' est le point d'affixe z' avec z'=f(z) soit z' = -i + 2 / (z - i) or quand M décrit E, z - i = x donc pour x différent de 0 on a z' = 2/x - i, il s'agit des points
M'( x/2 ; -1 ) donc de la droite (delta) d'équation y = -1 privée du point B d'affixe -i.

c) L'ensemble E est constitué des points M( x ; 1 ) avec x différent de 0, or les points M'( x/2 ; -1 ) sont également définis quand x différent de 0 donc quand M décrit E,
M' décrit la droite (delta).

Pour 4a), c'est "réel non nul" ou "réel ou nul" ? tu as une légère contradiction avec l'énoncé dans ta réponse.
Attention : x=0 n'est pas un point. Plutôt A(0 ; 1).

Pour 4b), c'est avec z = x + i y, où x diff/0, encore. Avec z' = x' + i y', tu as donc
x' = 2/x (et pas x/2) et y' = -1. C'est en effet la droite dont tu parles, privée du point que tu mentionnes.

Pour 4c), à part le pb x/2 diff/ 2/x, ce n'est pas la droite (delta) complète : tu en as exclu un point à la question précédente !

Emeline (der)
5) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur diff/ 0.

*tu as répondu : *
5) Pour que f(z) soit un imaginaire pur non nul, il faut que sa partie réelle soit nulle et sa partie imaginaire non nulle.

J'arrive à f(z) = (2x(1 - y)) / (x² + (y - 1)²) + i (x² - (y - 1)²) / (x² + (y - 1)²)

En posant un système d'équations, j'ai l'impression qu'il s'agit de l'ensemble nul

Tu dois vouloir parler d'ensemble vide, pas "nul".

En acceptant tes calculs... (n'empêche, je ne les ai pas vérifiés - fais-le !)
il faut que x = 0 ou y = 1 et x² - (y - 1)² diff/ 0
(le fait que les dénominateurs sont définis provient de ce que z diff/ i).
x² = (y - 1)² equiv/ x = y - 1 ou bien x = 1 - y.
Donc il faut que
x = 0 ou y = 1 et x diff/ y - 1 et x diff/ 1 - y, me semble t-il...

Qu'est-ce que ça donne géométriquement ? ne serait-ce pas la réunion de deux droites d'équations
(d) : x = 0, (D) : y = 1,
privée des points d'intersection avec les droites
(d') : y = x + 1, (D') : y = -x + 1... ?