exercice sur les fonctions, terminale S

[louli1]

bonsoir, il me faudrais de l'aide car là je suis bloquée sur un exo, il faut que je démontre que :

g(x)= √(x²+2)-√(x²-x) est égal à :

(x+2/x) / (√(x²+2/x²)+√(x-1/x))

j'ai pris la 1ere expression où j'ai multiplier en haut en et bas par √(x²+2)+√(x²-x), ce qui me donne (2+x) / √(x²+2)+√(x²-x)
mais apres je sais pas quoi faire pour arriver à g(x)=(x+2/x) / (√(x²+2/x²)+√(x-1/x))
merci

[Zauctore]

salut
montrer que
g(x)= √(x²+2)-√(x²-x) est égal à
(x+2/x) / (√(x²+2/x²)+√(x-1/x))
perso je préfère souvent partir de la 2e pour essayer de refabriquer la 1re.
mais dans le cas présent c'est un classique coup d'expression conjuguée, comme tu l'as fait.

$g(x)=\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2-x}=\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{x^2-x}\right)\times \frac{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2-x}}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2-x}}$

d'où

$g(x)=\frac{x^2+2-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2-x}}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2}+\sqrt{x^2-x}}$

maintenant extrayons x des radicaux (en supposant x positif)

$g(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\left(1-\frac{1}{x}\right)}}=\frac{x+2}{x\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)}$

enfin

$g(x)=\frac{\frac{x+2}{x}}{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)}$

question : tu es sûre de ton écriturede ta deuxième expression (en rouge) ?

[louli1]

merci beaucoup , oui oui je suis sure de l'écriture en rouge, le résultat que t'as trouvé c'est celui que j'ai sur ma feuille mais moi je l'ai modifié en le mettant sur internet

[louli1]

j'ai une autre question dans la suite de l'exo, c'est
a)calculer la limite de g(x) en +∞
b)interpréter le résultat

le a j'ai trouvé , c'est 1/2 mais interpréter le résultat c'est à dire?

[Zauctore]

(c'est tard, je sais 10^3 excuses)

lim de g en +infini = 1/2 signifie que la courbe de g admet une asymptote horizontale d'équation y = 1/2 au voisinage de+ infini.

bonne nuit.

[louli1]

ok merci mais j'ai rendu l'exo ce matin , merci bcp de ton aide