Démontrer des équivalences de congruences

bonjour je suis en Terminal S je fais spé maths et jai un dm a faire je dois le rendre demain et je suis un peu perdu

énoncé: pour tout entier naturel n> ou égal à 1 on pose Un=1+3+3²+...+3^n-1

démontrer que si un congru à 0 mod7 alors 3^n-1 congru à 0 mod7
réciproquement démontrer que si 3^n -1=0 alors 2un congru à 0 mod7
puis à l'aide d'un tableau de congruence déduisez en que un congru à 0 mod7
4.déduisez en les valeurs de n pour lesquelles un est divisible par 7

Voilà alors j'ai réussi la première et deuxième question mais la 3 je vois pas comment faire le tableau de congruence et pour la 4 je suis perdu je vois pas du tout

Merci pour l'aide que vous fournirez

Bonjour,
Précise l'énoncé : est-ce $3^{n-1}$ ou $3^n$ - 1 ?

Un est la somme d'une série géométrique .
Calcule Un.

Question 3 : je ne vois pas bien l'histoire du "tableau", mais si 2Un ≡ 0 mod 7, alors 2Un = 7k .
Que peut-on dir de k ?

un=1+3+3²+... $3^{n-1}$ et dans la première question et deuxième c $3^n$ -1

Bon.
Pour la question 3 :
Citation
si 2Un ≡ 0 mod 7, alors 2Un = 7k .
Que peut-on dire de k ?

heu alors là je sèche je vois pas du tout :frowning2:

2Un ≡ 0 mod 7 signifie que 2 U n est multiple de 7.
Donc il existe un entier k tel que : 2Un = 7k
Mais 2 Un est pair, donc k aussi ( 2 divise 7k et est premier avec 7 , donc il divise k ).

Par suite, tu peux simplifier l'égalité 2Un = 7k.

il ne faut pas dire que 2 divise k donc k=2unxq et après remplacer k dans l'autre égalité. je pense pas que c'est bon mais bon j'ai essayer :frowning2:

Citation
il ne faut pas dire que 2 divise k
Si ! Regarde mon raisonnement.
Ce que tu écris ensuite ne va pas :
2 divise k , donc k = 2h ( h entier )
Remplace dans 2 UN = 7k

donc 2un=7x2h <=> 2un= 14h
on divise par 2 ce qui revient à dire que un=7h <=> un≡0[7]
est ce que c'est juste?

Oui.

Pour la question 4 , je pense qu'ici on peut faire un "tableau" de congruences :
$3^0$ ≡ 1 modulo 7
$3^1$ ≡ 3 modulo 7
$3^2$ ≡ 2 modulo 7 ( tu vois pourquoi ? )
Continue

pourquoi 3^0 3^1 3² ... puisque un=1+3+3²+... $3^{n-1}$ ?

Pour répondre à la question :
Citation
4.déduisez en les valeurs de n pour lesquelles un est divisible par 7

Fais ce que je te demande car je vais bientôt devoir me déconnecter .
Pour la question 4 , je pense qu'ici on peut faire un "tableau" de congruences :
$3^0$ ≡ 1 modulo 7
$3^1$ ≡ 3 modulo 7
$3^2$ ≡ 2 modulo 7 ( tu vois pourquoi ? )
Continue

$3^1$ ≡1mod7
3²≡3 mod7
$3^3$ ≡ 2 mod7
$3^4$ ≡ 4 mod7
$3^5$ ≡ 5 mod7
$3^6$ ≡ 1 mod7
$3^7$ ≡ 3 mod7
$3^8$ ≡ 2 mod7
$3^9$ ≡ 6 mod7

heu je m'errette quand?

Tu n'avais pas répondu à une ancienne question : avais-tu calculé Un ?
On trouve Un = $3^n$ - 1)/2
C'est pour cela qu'on s'intéresse aux puissances de 3.

Si tu restes bloqué, fais remonter ton sujet ou appelle un modérateur pour t'aider : je dois me déconnecter .
Bon courage.