polynôme de degré 3: tro dur



  • bonjour
    voici le sujet:

    1. Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1) - P(x)=x² et p(1)=0
    2. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: 1²+2²+...+n²=P(n+1)
    3. En déduire que : 1²+2²+...+n²= (n(n+1)(2n+1))/6
    4. En déduire la somme des carrés des:
      a) 10 premiers entiers supérieurs ou égaux à1
      b) 100 premiers entiers supérieurs ou égaux à 1

    Voila meme la 1ère question je n'y arrive pas donc ce serait gentils de votre part de m'aider
    Merci :frowning2:



  • 1)on a P=aX^3+bX²+CX+D
    p(x+1)=a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d-ax^3-bx²-cx-d=0
    p(x+1)=a(x^3+3x²+3x+1)+b(x²+....) je te laisse poursuivre

    2)une fois que tu aura l'expression de P(x)

    il s'agira de demontrer par reccurence que p(n+1)=1+2²+3²+...n²

    3)pour deduite l'expression de (3) tu doit effetuer la somme P(x+1) - P(x)=x² en remplacant x par k et en donnant des valeurs pour k allant
    de 0 à n , soit à calculer som( P(k+1) - P(k))=somk²=1+2²+3²+....+n²

    attention petit chgt de variable pour p(k+1) en posant par exemple
    k+1=j, ce pour simplifier le calcul de la somme.

    1. SOM(k²) pour k comprs entre 1 et 10
    2. "........................................." 1 et 100


  • merci mais je narive pas à dévelloper la 1ère kestion et je ne compren pa la suite donc ce serait vraiment gentils que tu m'aides davantage.
    merci par avance



  • Comme tu dois le savoir en 1S un polynôme du 3ème degré est de la forme
    P(x)=ax^3 + bx^2 + cx +d
    P(x+1)=a(x+1)^3 + b(x+1)^2 + c(x+1) +d ce que tu dois savoir développer
    en suite on te dit que
    P(x+1) - P(x)=x^2 donc tu recopies .....
    et aussi P(1)=0 donc a(1)+b(1)+c(1)+d=0
    Essaye un peu !!



  • jobtiens en dévellopant: a(3x²+3x+1)+b(2x+1)-x²+c=0
    est-ce cela que je dois obtenir??



  • ah non après vérification j'obtien : a(3x²+3x+1)+b(2x+1)+c=0



  • oui mais pour faire une identification entre 2 polynomes il faut les ordonner selon l'ordre croissant des puissances de x et non en fontion des a b et et puis aprés tu dois tomber sur x^2 donc ti dois conclure que le coefficient devant x doit ête nul ainsi qui celui qui ne multiplie pas de x



  • Salut.
    De mémoire, on trouve a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6.
    d peut être pris égal à 0.
    Pour montrer que 1²+2²...+n² = P(n+1), écris
    P(2)-P(1) =...
    P(3)-P(2) = ...
    ...
    jusqu'à
    P(n+1)-P(n) =...
    où tu dois compléter !
    puis tu ajoutes toutes ces égalités membre à membre : il y a de l'élimination dans l'air.



  • oui mais ce n'est pas posiible que :a = 1/3, b = -1/2 et c = 1/6.
    d égal à 0. puique a+b+c+d doit être égal à 0 non???



  • Ecoute, va voir ici :

    posté par Helo01


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