Equations polynomiales et rationnelles

Bonjour,
J'ai étudié il n'y a pas très longtemps les équations polynomiales et rationnelles, mon problème c'est que je mélange toutes les méthodes, entre les équations polynomiales, équations polynomiales particulières plus les équations rationnelles je suis un peu perdue.

J'aimerais des explications sur ça et avoir des exemples pour que je comprenne un peu mieux si c'est possible!

merci beaucoup

bonjour Marie :

le principe de base de la résolution d'une équation qui n'est pas du premier degré, c'est à dire ax+b=0, c'est de se ramener à une équation produit.
C'est à dire à un premier membre sous la forme d'un produit de facteurs, et un second membre égal à zéro
Pour obtenir le premier membre égal à un produit de facteurs, on ramène toutes les quantités dans le premier membre, puis on factorise.
En effet, factoriser, c'est bien transformer une somme en produit.

On peut donc appliquer la règle du produit nul, c'est à dire qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

Il arrive dans certaines équations, que l'on ait l'inconnue au dénominateur : on parle d'expression rationnelle. Qu'à cela ne tienne, on applique la méthode et on ramène tout dans le premier membre. Il s'agit ensuite de mettre les fractions au même dénominateur afin de pouvoir procéder à l'addition (ou la différence) des deux fractions.
A ce stade, on définit des valeurs interdites (le plus souvent, les valeurs qui annulent le dénominateur, car on ne peut pas diviser par ZERO).

On remarque ensuite que si un quotient est nul, le numérateur est nul. On laisse donc de côté le dénominateur, et on résout l'équation figurant au numérateur.

A la fin de la méthode, on confronte les résultats obtenus aux contraintes posées sur l'équation, c'est à dire les valeurs interdites.

Je pense que vous devez retrouver là le cours de votre professeur.

Bonjour,
merci pour votre réponse, ce qu'il me faudrait, c'est des exercices resoluent pour que je puisse comprendre un petit peu mieux, un exercice avec equation polynomiale, un autre avec equation polynomiale particuliere et un autre equation rationnelle.

merci beaucoup!

je ne vais pas vous donner d'exercices résolus, en revanche je vais vous proposer un exercice et vous allez le résoudre étape par étape, en commentant votre démarche :
concretement, vous allez me détailler par écrit, comme si vous étiez à l'oral au tableau
par exemple : je regroupe tout dans le premier membre : ........
je cherche à factoriser.....
j'identifie un facteur commun.....
j'identifie une identité remarquable.....
les valeurs interdites sont......

exercice :
résoudre dans IR $fichier math$

ok j'applique le produit en croix pour éliminer les dénominateurs :
1x-1=x2
je résouds :
x-1=2x
-1=2x-x
-1=1x
-1/1=x

les valeurs interdites sont -1=0
dont l'equation n'a pas de solution

est ce juste ?

merci

$fichier math$

bien pour les valeurs interdites; il faudra les enlever des solutions trouvées à la fin de la résolution. Le résultat est juste ....

Le produit en croix est une méthode correcte en soi, mais il vaut mieux privilégier ce que j'ai dit tout à l'heure, à savoir ramener tout dans un même membre. Faites la différence et réduisez au même dénominateur.

-1 est différent de 0 et de 1 donc on conclut que S={-1}

ok?

je donne un autre exercice après votre réponse

En fait je ne comprends pas quand vous dites de réduire tout dans le premier membre. Je sais réduire au même dénominateur mais la je coince car ce n'est pas 1/x - ou + 2/x-1 mais = alors ça me pose problème.

Merci beaucoup

c'est tout simple, vous allez comprendre : dans une équation, il y a bien 2 membres séparés par un signe '= ' n'est-ce pas?

et bien, il s'agit de tout basculer dans un même membre de façon à obtenir un second membre nul : dans notre cas on a la succession suivante :

$fichier math$

on a bien une différence de deux fractions, pour continuer la résolution, on doit bien réduire au même dénominateur, n'est ce pas?

ok je comprends :

donc je reprends :
1/x=2/x-1
1/x-2/x-1=0
x-1/x(x-1)-2x/x(x-1)=0
x-1-2x/x(x-1)=0
-x-1/x(x-1)=0
mais après je coince

merci beaucoup

ah mais enfin, relisez la méthode : équation quotient, numérateur nul.. relisez

" Il arrive dans certaines équations, que l'on ait l'inconnue au dénominateur : on parle d'expression rationnelle. Qu'à cela ne tienne, on applique la méthode et on ramène tout dans le premier membre. Il s'agit ensuite de mettre les fractions au même dénominateur afin de pouvoir procéder à l'addition (ou la différence) des deux fractions.
A ce stade, on définit des valeurs interdites (le plus souvent, les valeurs qui annulent le dénominateur, car on ne peut pas diviser par ZERO).

On remarque ensuite que si un quotient est nul, le numérateur est nul. On laisse donc de côté le dénominateur, et on résout l'équation figurant au numérateur.

A la fin de la méthode, on confronte les résultats obtenus aux contraintes posées sur l'équation, c'est à dire les valeurs interdites. "

voici ce que jz décide de faire à partir de ça : -x-1/x(x-1)=0
je fais le produit en croix et j'obtiens -x-1=0
-x=1
x=-1

est ce juste?
merci

quel produit en croix????

vous arrivez à $fichier math$

je vous ai recopié le "cours" encore une fois, lisez le encore et appliquez le paragraphe avec le quotient nul. Vous avez bien un quotient là, nous sommes d'accord ou pas?

donc le quotient est nul, si le numérateurest nul.

il vous reste peu d'étapes pour atteindre la fin

" Il arrive dans certaines équations, que l'on ait l'inconnue au dénominateur : on parle d'expression rationnelle. Qu'à cela ne tienne, on applique la méthode et on ramène tout dans le premier membre. Il s'agit ensuite de mettre les fractions au même dénominateur afin de pouvoir procéder à l'addition (ou la différence) des deux fractions.
A ce stade, on définit des valeurs interdites (le plus souvent, les valeurs qui annulent le dénominateur, car on ne peut pas diviser par ZERO).

On remarque ensuite que si un quotient est nul, le numérateur est nul. On laisse donc de côté le dénominateur, et on résout l'équation figurant au numérateur.

A la fin de la méthode, on confronte les résultats obtenus aux contraintes posées sur l'équation, c'est à dire les valeurs interdites. "

terminez cet exercice "proprement" en étant sûre d'avoir tout compris et j'en redonne un qui lui ressemble, puis un autre un peu plus compliqué.

donc là je m'occupe que du numérateur :
-x-1=0
-x=1
x=-1
-1 est interdit
s{-1}

est ce bon?

merci

ah bon? pourquoi -1 est-il interdit? nous avions déterminé au début que 0 et 1 étaient les valeurs interdites... en effet, au dénominateur nous avions x et x-1 .....

quel est votre raisonnement??

ben au début j'ai dit que -1 était interdit là je comprends plus...

-1 est la solution de l'équation, ce n'est pas une valeur interdite.

En revanche, à la fin, on a résolu l'équation, on a donc obtenu des valeurs de x qui sont solution, mais on doit faire attention que parmi les solutions trouvées, il n'y ait pas de valeurs identifiées comme interdites dans les premières étapes du travail. Si c'est le cas, on les écarte et on ne garde que les solutions qui ne sont pas des valeurs interdites.
Dans notre exemple, on arrive à une solution qui est x=-1 or -1 n'est ni égal à ZERO ni à 1, donc -1 peut bien être retenu comme solution définitive de l'équation, et on note :

S={ -1 }

d'accord je comprends mieux c'est vrai que je pensait que -1 était tout le temps une valeur interdite ( grave erreur)

merci beaucoup

je vous propose un autre exercice?

En effet il y a confusion entre vos envois

Marie1279

les valeurs interdites sont -1=0

stephaneenligne

bien pour les valeurs interdites; il faudra les enlever des solutions trouvées à la fin de la résolution. Le résultat est juste ....

Il aurait été préférable de s'apercevoir, à ce moment là que les valeurs interdites étaient fausses.

ok par contre ce soir je n'aurais pas le temps d'en faire un autre, demain vous pourrez m'en proposer d'autres exos il n'y a aucun problème. Je préfère les faire calmement en ayant du temps.

Merci pour vos explications

eh oui, si je l'avais vu je le lui aurais dit tout de suite ma chère. Heureusement que vous veillez!

ok, je vous les poste maintenant, faites les si vous pouvez, autrement, bon courage :

résoudre dans IR les équations suivantes :

$fichier math$