Démontrer qu'une suite est strictement croissante par récurrence

Bonjour à tous, c'est mon premier message.
alors voila l'énnoncé: la suite réelle définie par $U_0$ =0 et par la récurrence
$U_{n+1}$ =√ $U_n$ +12)
On me dit de démontrer que $U_n$ <4
Alors la j'ai fait: √ $U_n$ +12)<4
$U_n$ +12<4²
$U_n$ +12<16
$U_n$ <16-12
$U_n$ <4
Donc ca je pense que c'est bon, mais la ou je bloque, c'est quand il me demande de démontrer que la suite $U_n$ est strictement croissante.
Donc ca veut dire que:
$U_n$ < $U_{n+1}$
et la ?????

Merci de me donner un indice pour la suite

Bonjour,
Ton raisonnement ne va pas : tu suppose ( sans le dire ) que $U_{n+1}$ est inférieur à 4.
Il faut revoir la présentation : tu peux tenter une récurrence.

Oui car dans l'énnoncé, on me dit que pour tout n∈N on a $U_n$ <4 .
donc je suppose que Un+1 est inférieur à 4

Non : l'énoncé demande de le démontrer :
Citation
On me dit de démontrer que Un<4

Tu ne pas donc pas le "supposer" : ce raisonnement est faux.
Essaie une récurrence :
La propriété est vraie pour n = 0 : U0 = 0 et 0 <4
Supposant la propriété vraie jusqu'au rang n ( donc supposant que Un < 4 ) , tu dois le démontrer au rang n+1
Si tu y parviens, tu peux conclure que la propriété est vraie pour tout n entier.

Un+1<4
√(Un+12)<4
Un+12<4²
Un+12<16
Un<16-12
Un<4

C'est pas ca alors? je croyais l'avoir démontré, mince alors

Non :
Relis :
Citation
La propriété est vraie pour n = 0 : U0 = 0 et 0 <4
Supposant la propriété vraie jusqu'au rang n ( donc supposant que Un < 4 ) , tu dois le démontrer au rang n+1
Si tu y parviens, tu peux conclure que la propriété est vraie pour tout n entier.

J'ai vérifié que la propriété est vraie pour n = 0
Ensuite, Si Un < 4 alors ...
Tu ne peux pas écrire des lignes d'inégalités sans les démontrer , et sans expliquer les liens avec les lignes précédentes ( même si ces inégalités sont vraies ).

Tu dois partir de Un < 4
et arriver à la fin à : " donc $U_{n+1}$ < 4 "

Ok j'ai pas encore tout compris, mais je vais me pencher dessus a fond demain pour comprendre.
Grand merci mathous

A plus tard.
Ce qui compte, c'est le raisonnement : cela ne consiste pas à aligner des lignes d'écriture mais à les lier de façon logique.

Je pense avoir trouvé:
on suppose que pour tout entier $naturel_P$ , $U_P$ <4. Alors on va démontrer que $U_{n+1}$ <4.
L'hypothèse de recurence devient $f(U_{p+1}$ ) < f(4)
C'est à dire $U_{n+1}$ <4 car f(4)=√(4+12)=4
Conclusion: on peut dire par hérédité que $U_n$ <4

Globalement ça me paraît juste, mais la présentation est confuse : déjà n'utilise pas deux indices ( n et p ) mais un seul :
Si Un < 4 ,
alors √(Un+12) < √16 = 4
autrement dit : $U_{n+1}$ < 4.

Pour la croissance de la suite, je te propose de calculer $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ²

D'accord mais avec cette formule je suis rapidement bloqué, car
Un+1² - Un²
Un+12-Un²

c'est désespérant, je comprends rien au suite

Tu sais que Un < 4
De plus Un est positif ( nul seulement pour n = 0 )
Donc : 0 ≤ Un < 4

Tu as vu que $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² = $U_n$ ² + $U_n$ + 12 , alors
Etudie le signe de f(x) = -x²+x+12 dans l'intervalle [0;4[

Ah ok, c'est beaucoup plus simple maintenant, je te remercie grandement, tu m'as bien aidé.

N'oublie pas :
Je t'ai fait calculé $U_{n+1}$ ² - $U_n$ ² au lieu de $U_{n+1}$ - $U_n$ :
c'est parce que , Un étant
positif, $U_n$ < $U_{n+1}$ <=> $U_n$ ² < $U_{n+1}$ ²

N'hésite pas à demander si tu éprouves encore des difficultés.

Oui j'ai encore un problème puisque quand je fais le calcule je trouve que la courbe est décroissante sur l'intervalle [0;4[ alors qu'il me demande de prouver qu'elle est strictement croissante.
Tu peux me dire si toi tu trouves comme moi?

Non.
Fais attention au signe de la dérivée : son premier coefficient est négatif.
Précise tes résultats :
f '(x) = ??

je trouve f'(x)=-2x+1
donc la courbe à une inclinaison négative

Non.
f '(x) n'est pas constamment négative.
Pour quelle valeur de x s'annule-t-elle ?
Quel est son signe avant et après cette valeur ?

Ca s'annule en 1/2, donc elle est croissante de -∞ à 1/2 et décroissante de 1/2 à +∞ .Mais mon intervalle d'étude est [0;4[, donc je m'en préoccupe pas. Enfin je crois

Pas de panique :
f est donc croissante de 0 à 1/2 puis décroissante de 1/2 à 4.
Mais on se moque qu'elle soit croissante ou décroissante : ce qui compte c'est son
signe( on veut savoir si $U_n$ ² < $U_{n+1}$ ² )
Calcule f(0) et f(4) ( et si tu veux f(1/2) mais ce n'est pas obligatoire ).