Trouver une fonction

Bonjour, voici un exercice, je ne vois pas comment procéder.
Merci de votre aide.

F est une fonction définie et dérivable sur R telle que F(0)=0 et pour tout réel x,
F'(x) = 1 / (1+x²)
On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x).

1/ G est la fonction définie sur R par :
G(x) = F(x) + F(-x)

a. Justifiez que G est dérivable sur R et calculez G'(x) pour tout réel x.

ma réponse : G'(x) = 1/ (1+x²) + 1 / (1+x) dois-je factoriser ?

b. Calculer G(0) et déduisez en que F est une fonction impaire.

ma réponse : G(0) = F(0) + F(-0) = -F(0) F(x) = -F(x) donc impaire. Est-ce juste?

2/ H est la fonction définie sur I = ] 0 ; +inf [ par : H(x) = F(x) + F(1/x)

a. justifiez que H est dérivable sur I et calculez H'(x) pour tout reel x dans I.

ma réponse : H'(x) = 1 / (1+x²) + 1 / (1+ (1/x)² ) dois-je factoriser?

b. démontrez que pour tout x dans I, H(x) = 2F (1)
Ici je bloque, je ne vois pas comment procéder

c. déduisez en que la limite de la fonction F en +inf est 2F(1).

après il y a d'autre questions indépendantes, mais si j'arrive à avoir ces 2 dernieres réponses, la procédure sera la meme pour la fin de mon exercice.
Merci beaucoup de votre aide !

Bonjour,

1a / tu ne dois procéder par le calcul mais en utilisant les propriétés des fonctions dérivables... Somme de deux fonctions dérivables ? Composée de deux fonctions dérivables ? etc.

1b/ Tu dois déjà détermimer G(0) et donner un résultat tel que G(0) = --
Ensuite tu dois étudier la parité de la fonction, pour cela je te conseille de calculer f(-x).

2a / voir question 1a

2b / Tu devrais commencer par exprimer H(x) et voir à simplifier l'expression. Commence tes calculs.

2c /tu devrais revoir le cours sur les limites.. Quel type de fonction est H(x) ?

Je vous remercie mais :

1.a. Je dois bien calculer G'(x). je voulais savoir si mon calcul était bon. Je connais la définition de la dérivation c'est pour ça que je ne l'ai pas marqué là mais je le mettrais sur ma feuille.

1.b. Il me semble avoir exprimé G(0), mais en fonction de F(x) et F(-x).

2.b. commen exprimé H(x) avec F(x) inconnue ?
merci de votre aide !

1a / Pour le calcul de G', je n e comprends pas cette partie du résultat que tu as trouvé :
Citation

1 / (1+x)

b/ A quoi est égale F(0) ? ta réponse est : G(0) = F(0) + F(-0). Que peux tu dire sur F(0) et F(-0) ? La parité de la fonction doit se faire à part de ce calcul en exprimant F(-x)?

2 b / Tu dois aller plus loin dans ton calcul de H'(x) et tu devrais trouver quelque chose pour t'aider sur cette question.