Théorème d’Euler.



  • bonjour,

    j'aimerai un peu d'aide pour la fin de mon exercice svp:
    (c'est sur le e) que je bloque)

    Soient A;B;C;D quatre points de l'espace. Montrer que l'on a : AB²+CD²-BC-²AD² = 2 AC.DB

    Applications.
    a) Dans un tétraèdre ABCD, montrer que AC est orthogonal à BD si et seulement si AB²+CD² =BC²+AD².

    b) Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à deux fois la somme des carrés
    des longueurs des côtés.

    c) Dans un triangle ABC, on note a = BC, b = AC, c = AB. Soit A' le milieu de B;C et sa = AA'. Soit D le
    symétrique de A par rapport à A'. Observer que ABCD est un parallélogramme et déduire de la question précédente
    la relation sa²=1/4 (2b²+2c²-a²).

    d) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Montrez que alors (AG) est orthogonale à (BG) si et seulement si a²+b² = 5c².

    e) Théorème d'Euler. Dans un quadrilatère ABCD où les médianes sont (MN) et (PQ), montrer que l'on a
    AC²+BD² = 2(MN²+PQ²)

    Pour le e),
    J'ai essayé par plusieurs méthodes sans y arriver;

    j'ai emplacer MN et PQ par
    MN²=(MB+BC+CN)²=(1/2AB+BC+1/2DC)²
    PQ²=(1/2AD+AB+1/2BC)²
    puis j'ai remplacé
    AC²=(AB+BC)²
    BD²=(BC²+CD)²

    Merci d'avance.



  • Bonjour,
    Dans la question 1 , AC.DB désigne bien le produit scalaire des deux
    vecteurs?

    Pour la e) : applique le résultat de la question 1 en changeant les lettres :
    A→M
    B→N
    C→P
    D→Q



  • merci bcp.


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