Equation d'une suite récurente (par récurence?)

Bonjour

Voila de nouveau un exercice où je pèche mais ou je sens que la solution n'est pas bien loin.

Je dois montrer

$∀n∈nun+1=14−(un−12)\forall n \in \mathbb{n} \quad \quad u_{n+1} =\frac{1}{4} - \left(u_n-\frac{1}{2}\right)$

je sais que U_{n+1} = U_n - (U_n)² que 0 ≤ U0 ≤ 1/2et que 0 < Un < 1/(n+2)

J'ai essayer par récurrence et par équation U_n - (U_n)² =... je n'ai pas abouti

personne n'aurait une piste a exploiter je tourne en rond depuis pas mal de temps.

j'ai retravaillé le texte que tu avais posté.

n'est-ce pas plutôt

$∀n∈nun+1=14−(un−12)2\forall n \in \mathbb{n} \quad \quad u_{n+1} =\frac{1}{4} - \left(u_n-\frac{1}{2}\right)^2$
car alors c'est une simple mise sous forme canonique qui donne le passage de $un+1=un−un2\small u_{n+1} = u_n - u_n^2$ à $un+1=14−(un−12)2\small u_{n+1} =\frac{1}{4} - \left(u_n-\frac{1}{2}\right)^2$ ...

Malheureusement non j'ai l'énoncé sous les yeux il n'ya a pas de carré c bien :
$un+1=14−(un−12)u_{n+1}=\frac{1}{4}-(u_{n}-\frac{1}{2})$

Peut etre que la suite de l'exercice peut il aider c'est :
Montrer que $∀nϵn;::n(n+1)2≺1n+2\forall n \epsilon n ; : : \frac{n}{(n+1)^{2}}\prec \frac{1}{n+2}$

je loupe peut-être qqch, mais alors sans carré cela signifie que $3/4−un=un−un2\small 3/4 - u_n = u_n - u_n^2$ ?

d'où $un2−2un+3/4=0\small u_n^2 - 2 u_n + 3/4 = 0$ ??

d'où encore $\small \left(u_n - 1) ^2 - 1/4 = 0$ ???

donc U_n ne prend au plus que deux valeurs ????

C'est sur quoi je suis tomber mais cela ne concorde pas avec l'énoncer et de plus sur ces deux valeurs aucune n'est dans le domaine de Un car ,
Un est compris entre 0 et 1/(n+2) qui est forcément inférieur à 1 donc cela est incohérent mais l'énoncé est telle que je l'ai mit et je tourne en rond depuis pas mal de temps essayant inéquation récurrence équation en aboutissant sur des résultats incohérent ou impossible à résoudre a mon niveau.

Je ne sais pas si sa peut aider mais on peut prendre en compte que :
$un−12≺0:donc:−(un−12)≻0u_{n}-\frac{1}{2}\prec 0: donc : -(u_{n}-\frac{1}{2})\succ 0$

Il y aurait-il un problème d'énoncé avec un carré en moins ??