Equations du second degré à coefficients complexes.

Bonjour,

je m'inscris sur ce forum car j'ai un gros problème avec un exercice que je viens de commencer...

C'est la première question et j'ai déjà un souci --'..

Voici l'énoncé.

A/

Soit a un nombre complexe. On note α (alpha) la partie réelle et β (beta) la partie imaginaire de a.

On cherche à résoudre dans C l'équation (E) : z² = a
et on pose z = x+iy où x et y sont réels.

1) Démontrer que z est solution de (E) si et seulement si (x,y) est solution du système (S) :

x²-y² = α
2xy = β
x²+y² = √(α ²+β²)

Voilà, je sais pas par où commencer... Les démonstrations n'ont jamais été ma tasse de thé.

Merci d'avance.

salut et bienvenue !

z est solution de (E) si et seulement si z² = a c'est-à-dire (x + iy)² = α + iβ.
développe-réduis... ça te donnera déjà deux conditions.

tu es sûre de ça : x²+y² = √(α ²+β²) ?

Je m'attendais pas à une réponse si rapide, ça me réjouit ^^
Et bien oui je suis sûre de x²+y²= √(alpha²+beta²), c'est l'énoncé.

En plus j'ai déjà essayé de faire (x+iy)²=alpha+ibeta,
c'est la première chose que j'ai pensé à faire mais j'ai pas réussi à conclure.

ok

développe (x + iy)² stp.

(x+iy)²= x²+2xiy+(iy)²
=x²+2xiy+(i²y²)
=x²+2xiy-y²

oui

donc x² - y² + 2xiy = α + iβ et maintenant tu peux identifier parties réelles et imaginaires !

Mais parties réelles et imaginaires de qui ?
de z, on les a dans l'énoncé,
de a, aussi... ?

voici lesquelles
x² - y²+ i
2xy=
α+ i
β.

pour la condition restante, peut-être faudra t-il penser aux modules ?

Aah ça y est je vois... Dans le système (S):
x²-y²=alpha
2xy=beta
Mais je pensais pas qu'on avait le droit de raisonner comme ça dans une équation...
En fait le dernière membre du système x²+y²=√(alpha²+beta²) il sert à quoi ?

ah d'accord... ^^ merci

je t'en prie !

En fait j'aurais besoin d'un autre renseignement... Sur les propriétés des modules justement qui ne sont pas dans mon cours. Est ce que cela est juste :

Si z=x+iy,

/z/²=√(x²+y²)²=x²+y² ?

oui !

Et si a=alpha+ibeta, et z=x+iy,

Si z²=a, /z/²=/a/ ?

oui

Super... Merci !

Bonjour à tous. Avec votre permission je veux apporter ma part de contribution à ce sujet. Pour un complexe donner a. Les racines carrés de a sont tels que : Soit u telque élevé carré est égale au complexe a implique le système : Ré (u au carré) est égale à Ré (a); module de u au carré est égale à module de a ; Im (u carré) égale Im (a). Et par identification x carré -y carré égale à alpha (1) ; x carré + y carré égale mod a (2) ; 2yx égale bêta (3). Ensuite (1) + (2), tiré x et le remplacé dans (3). MERCI. ET TOUT MES ESCUSES POUR LA PRÉSENTATION.

(re)bonjour,
Je savais pas si je devais poster une nouvelle discussion pour poser cette simple
question, (car ça n'aide personne) :

Résoudre l'équation suivant :
z²=4-3i

Solutions :
√4-3i et -√4-3i ??

Merci...

Bonjour,
Tu as bien écrit √4 - 3i et pas √(4 - 3i) ?

pour z²=4-3i
Je voulais savoir si les solutions étaient bien :
√(4-3i) et -√(4-3i) en fait

ça ne veut rien dire : le symbole √ ne s'utilise ( au lycée ) que pour des nombres positifs , et pas pour des complexes quelconques.
Le problème consiste à chercher z = x+iy tel que z² = 4 - 3i

Pourtant lorsqu'on étudie le discriminant pour les complexes, on écrit bien √-Δ.. mais bon c'est vrai que ça fini toujours par être positif...

Non, on peut tolérer par exemple √(-4) = 2i ( ou -2i ? )
Mais ici, le problème consiste à déterminer x et y tels que (x+iy)² = 4 - 3i

Y-a-t'il besoin de résoudre un système ? Je sais pas par où commencer.

Tu peux résoudre un système avec x et y , comme tes précédents exercices.
Mais il est peut-être plus simple d'utiliser la forme trigonométrique :
4 - 3i = r $e^{iθ}$
Calcule r

En tatonnant je pensais à √4-√(3i)... Mais il y a pleins de propriétés qu'on apprend au collège (je pense) qu'il me manque, notemment sur les racines.
Par exemple :
(√a+√b)²=√a²+√b² ? --'.. Même pas je viens de penser aux identités remarquables, c'est complètement faux ce que je viens d'écrire.

La forme trigonométrique... Je pense pas que le professeur nous a donné cet exercice pour qu'on l'utilise, on l'a pas tellement vu.
Le système je le déduis de l'équation (x+iy)²=4-3i donc ?

Au collège, on apprend que (a+b)² = a² + 2ab + b² et pas a² + b²
Mais tu es en TS ?

Essaie comme je t'ai conseillé : calcule le module r de 4 - 3i

Ca parait étrange qu'une TS soit si faible en Math je le concois, mes points forts sont ailleurs.
Je pense que je vais essayer de faire un système et de le résoudre, ça au moins je sais le faire... :S
Merci

Donne tes réponses : je pourrai vérifier.

Je verrais cet exercice plus tard je pense.
Merci
à bientôt