Trouver les limites d'une fonction en + et - infini

Bonjour,

j'aimerai savoir comment trouver et justifier la limite en + et - infini de
f(x)=x+1+√(x²+4x)
la calculette me donne le résultat mais j'aimerai le démontrer mathématiquement.

Merci.

Bonjour,
Lorsque x tend vers +∞, il n'y a pas de difficulté : tout tend vers +∞

Lorsque x tend vers -∞, quelle limite trouves-tu ?

la répnse est -1 mais on tombe sur une forme indéterminée que je n'arrive pa à résoudre.

Mets x² en facteur dans la racine carrée

f=x+1+√(x²(1+4/x))
lim de x+1 = -inf
lim de √(x²(1+4/x))
=lim de x√(1+4/x)
= -inf (non?)

donc çà fait lim f(x)=-inf
mais c'est pas çà le résultat !?!

f(x) = x+1 + √(x²).√(1+4/x)
Que vaut √(x²) ?

x

Non : ça dépend du signe de x.
Ici, x tend vers -∞, donc on peut se placer dans l'intervalle où x est négatif.
dans ce cas, √(x²) vaut -x
Exemple : √(-100)² = √10000 = 100 = -x si x = -100

?!?!?!
je suis perdu ...
en gros çà fait x ou -x

Si x est positif, √(x²) = x
Si x est négatif, √(x²) = -x

Ici, x est négatif, donc √(x²) = -x

si on repd:
lim f(x)=x+1+√(x²+4x)
lim f(x)=x+1+(-x).√(4/x)
c'est çà?
mais on lève pa l'indétermination là?

attention , tu as oublié le 1 dans la racine carrée :
f(x) = x+1 + (-x).√(
1+4/x)

Isole le 1 de x+1 et mets x en facteur dans le reste.

oups ah oui
f(x) = x(1+ 1/x + (-1).???
la je bloque

Non
f(x) = x+1 + (-x).√(1+4/x)
f(x) = x -x√(1+4/x) +1
f(x) = x[...] + 1

Reprends le calcul du crochet ( laisse le dernier 1 à part : on connait sa limite ! )

Je suis ds le meme cas que souri62, je suis bloker a partir de cet endroit,

Nous obtenons bien ceci? x[(1-1√1+4/x)]+1, mais ci cela est bon je ne voit pas comment obtenir -1 en limite :frowning2:

attention aux parenthèses : x[1 -√(1+4/x)]
On va arranger le crochet : en multipliant et en divisant par une quantité bien choisie, comme :
a = (ab)/b
[1 -√(1+4/x)] = [1 -√(1+4/x)]??/??

--> [1 -√(1+4/x)]*x/x
??

Ce n'est pas le bon choix : pense aux "quantités conjuguées" :
[1 -√(1+4/x)] = [1 -√(1+4/x)][1 + √(1+4/x)]/ [1 + √(1+4/x)]
Calcule le numérateur : [1 -√(1+4/x)][1 + √(1+4/x)] = ??

1² + (√1+4/x)² ?

non - desolé

Non : (a-b)(a+b) = a²-b² pas a² + b²
Donc ici : 1² - (√(1+4/x))² = ?? que vaut le carré d'une racine carrée ?
Attentionaux parenthèses !

1-(1+4/x)

le carré dune racine carrée enleve la racine!

achève le calcul : 1-(1+4/x) = ?

je dirais -4/x.
Non?

Reprenons : tu te souviens où on en était ?
[1 -√(1+4/x)] = (-4/x)/[1 + √(1+4/x)]
Donc f(x) = x[...] + 1
f(x) = x*(-4/x)/[1 + √(1+4/x)] + 1
f(x) = simplifie le début

Ne traîne pas : on a presque terminé, et je vais bientôt me déconnecter.

simplifier quel partie, a vrai dire je suis perdu :s

f(x) =
x*(-4/x)/[1 + √(1+4/x)] + 1
La partie rouge

-4x/x
=-4

Reste donc :
f(x) = -4/[1 + √(1+4/x)] + 1
Quelle est la limite du nouveau crochet ( le dénominateur ) lorsque x tend vers -∞ ? ( facile )

-∞

Non
x→ -∞
donc 4/x → 0
donc √(1+4/x) → ??
donc 1 + √(1+4/x) → ??

donc √(1+4/x) → 1
donc 1 + √(1+4/x) → 2

Enfin : f(x) = -4/[1 + √(1+4/x)] + 1 admet quelle limite sachant que le crochet tend vers 2 ?

re
désolé j'ai du partir
je regarde depuis tout à l'heure et çà va je comprend
çà fait -1

-1

C'est bien ce que suggérait la calculatrice ?
Il y a d'autres méthodes un peu plus rapides mais je ne sais pas si elles sont au programme : connais-tu les équivalents ?

euh... non

Dans ce cas, tu peux utiliser la méthode que nous avons détaillée.

OK
merci beaucoup

Merci de votre aide, je n'y serais pas arriver seule