3. Etude d'une spirale obtenue a partir d'un carré

Etude d'une spirale obtenue a partir d'un carré

  • L

    Bonjour, pourriez vous m'aider j'ai des difficultés à réaliser cet exercice

    A. Construction
    Dans un repère orthonormal direct (O;,) le carré OABC est tel que :
    A (-1;0) ; B (-1;-1) ; C (0;-1)
    Les rotations d'angles /2 et de centres respectifs O,A,B,C sont notées rO , rA , rB , rC

    1. Placez le point MO = C , puis M1 , M2 , M3 , M4 tels que :
      rO(MO) = M1 ; rA(M1) = M2 ;
      rB(M2) = M3 ; rC(M3) = M4 .

    2. Continuez le processus pour M5 , M6 , M7 , M8 , ... avec :
      rO(M4) = M5 ; rA(M5) = M6 ;
      rB(M6) = M7 ; rC(M7) = M8 .

    B. Des alignements

    1. Prouvez que vecOM0 , vecOM4 , vecOM8 , vecOM12 , ... sont des vecteurs colinéaires et de même sens.

    2. Enoncé un résultat analogue à partir des points M1 , M5 , M9 , ... ; M2 , M6 , M10 , ... ; M3 , M7 , M11 ...

    3. Sur quelles demi-droites sont M20 ? M2 005 ?

    C. Calculs de longueurs de segments

    1. Prouves que M0M4 = 4

    2. Démontrez en utilisant les rotations que :
      M0M4 = M1M5 = M2M6 = M3M7 = ...
      Ainsi pour tout entier k, MkMk+4 est constant.

    D. Calculs de longueurs d'arcs

    Les arcs succesifs M0M1 , M1M2 , ... , Mn-1Mn' , ... forment la spirale.
    On note Ln la longueur du trajet de MO à Mn.

    1. a) Démontrez que Ln = pi/2 /(1+2+3+...+n).

    b) Pourquoi Ln = (pi*n(n+1))/ 4 ?

    1. Peut-on trouver un point Mn sur la spirale tel que la longueur Ln soit égale à la distance parcourue en neuf tours du cercle trigonométrique?

    J'ai fais la partie A mais après je bloque.
    Merci à ceux qui pourront m'aider

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