Résolution d'un problème d'optimisation en utilisant des fonctions

Bonjour à tous, je suis en terminale S et pendant les vacances nous avons un devoir maison à réaliser. Hélas, j'ai beau me creuser la tête je ne trouve pas de piste pour debuter mon devoir, c'est pourquoi j'èsperais recevoir de l'aide de quelqu'un. L'énoncé est le suivant :

Une voiture 4×4 doit aller d'un point A situé sur une route à un point B en traversant un champ.

Sachant que sa vitesse sur la route est de 40Km\h, et que sa vitesse à travers champs est de 20Km\h, déterminer la position du point H pour que le temps mis pour aller de A à B soit minimal.

(je pense être obligé de rajouter un scan pour que vous puissiez comprendre l'exercice. Après avoir lu les règles d'exception j'espère donner toutes les références exactes du livre dont il est tiré .)

Image tiré du livre Declic Tle S mathématiques, auteur : Jean-Paul Beltramone, Vincent Brun, Claude Felloneau, Lydia Misset, Claude Talamoni ; éditeur : Hachette Education ; edition : 2006 ; n°47 page 87.

Schéma d'un exercice d'optimisation

Je sais deja que je dois utiliser les dérivées ainsi que les primitives. Mais même en connaissant mon cours je n'arrive pas à appliquer ce que l'on a vu à un exercice concret comme celui la.

J'èspere que quelqu'un pourra m'aider merci d'avance.

Bonjour,

Tu peux appeler x = AH ; donc HK = 4-x . A toi de trouver HB avec Pythagore

Ensuite la durée du trajet = durée pour faire [AH] + durée pour faire [HB]

Et trouver quand cette durée est minimale !

Merci zorro ton coup de pouce ma permis de bien commencer seulement j'arrive à un stade qui me pause problème.
Voici ce que j'ai trouver grace à tes conseils :

Comme tu la dit x = AH et HK = 4-x
avec phytagore on trouve :

HB²=BK²+HK²
HB²=3²+(4-x)²
HB²=x²-8x+25
HB=√(x²-8x+25)

Ainsi Durée pour parcourir AB=((x/40)+(√(x²-8x+25))/20
" " AB=(x+(2√(x²-8x+25)))/40

On pose f(x)=(x+(2√(x²-8x+25)))/40

Ensuite il faut que je calcule f'(x) pour trouver le signe de f'(x) et ensuite trouver les variations de f(x) et voir pour quelle valeurs f(x) est minimale. Seulement je ne vois pas comment dériver f(x).

Je pense qu'il faut que tu écrives

$\frac{1}{,40,}(x,+,2sqrt{,x^2,-,8x,+,25,})$

Tu sais dériver x !

Tu sais dériver $sqrt{,u(x),}$

Je sais que la dérivé de √(u(x)) est u'/2√u

Comme 1/40 est une constante on ne la prend pas en compte
Dérivé de x = 1.
Dérivé de √u(x) = Dérivé de 2√(x²-8x+25)
Dérivé de √u(x) = (2x-8)/(4√(x²-8x+25))

Donc f'(x) = 1+((2x-8)/(4√(x²-8x+25)))

Mais je ne suis pas sur, car dérivé de 1/40 est égale 0, donc normalement f'(x) = 0.

Du coup je ne sais plus si mon résulatat est juste !

Encore un petit coup de pouce s'il te plait Zorro

La dérivée d'une constante est nul seulement dans le cas d'une somme (addition ou soustraction) mais pas dans le cas d'une multiplication ou division...

Donc la dérivée de kf(x) = kf'(x)...

Bonne chance

NON , la dérivée d'un constante est toujours nulle ....

si f(x) = k , alors f'(x) = 0
`
si f(x) = ku(x) , avec k un réel ne dépendant pas de x , alors

f(x) = u(x) * v(x) , avec u(x) = k donc u'(x) = 0

donc f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) = 0 * v(x) + k * v'(x) = k v'(x)