Décomposition de fonction

Bonjour,
Mon professeur de Maths m'a donné cet exercice à faire pendant les vacances.

Cet exercice est composé de 3 questions dont les 2 premières que j'ai réussies a faire consistaient à montrer que f(x) = 1 / (4x-5) était composé de 2 fonctions simples ET montrer que g(x) = (5x-3)^2 était aussi la composéee de 2 fonctions simples.
Seulement voilà.
La question 3 consiste à déterminer f o g(x) (donc g suivie de f).
Mais comment le faire ?
Mes réponses sont plus bas, dans le 3ème message.

Merci Beaucoup de votre aide. :rolling_eyes:

Bonjour,

Merci de lire le consignes à suivre ici , et qui sont résumées dans le message écrit en rouge dans la page d'accueil du forum : Insérer une image dans un message

Bonjour.
Je suis désolée, j'avais oublié l'énoncé et c'est vrai que sans lui c'est pas facil facil
Le voici :

**On considère 2 fonctions f et g telles que f(x) = 1/ (4x-5)
et g(x) = (5x-3)².

Montrer que f est la composée de 2 fonctions simples à préciser.
Même question pour g.
Déterminer f o g(x).**

Et voilà ce que j'ai fait :

1. Pour montrer que f est la composée de 2 fonctions simples de référence, je fais la décomposition de f. Sachant bien le faire, je ne le recopie pas sur le forum : Je trouve que f est composée :

d'une fonction affine : 4x-5
d'une fonction inverse : 1/x

2. Je fais la même chose ici. Je décompose g(x) = (5x-3)² et je trouve que g est la composée de :

une fonction affine : 5x-3
une fonction carrée : x²

3. C'est cette question que me pose problème car on me demande de déterminer f o g(x).
Mais comment est ce que je dois faire ?
Dois-je faire comme cela :

x ------> 4x-5
X ------> 1/X
x --------------------> 1/ (4x-5)
x --------------------> ??? Je continue avec f(x) ?

Comment faire ? Le fait qu'il y ai f o g*(x)** * me gène :rolling_eyes:

Salut,

fog(x)=f(g(x)) donc il te suffit tout simplement de remplacer x, dans l'expression de f(x), par g(x) et tu auras fog(x).

Ah oui ? Je dois donc faire g suivi de f, ce qui donne :
x ------> 4x-5
X ------> 1/X
x --------------------> 1/ (4x-5)
x --------------------> 1/ 4Y-5
x --------------------> 1/ 4(5x-3)-5
x --------------------> 1/ 4(W²)-5
x --------------------> 1/ 4 (5x-3)² -5

Ca me parait tout de même bizarre de faire ça ... J'ai juste ou je me suis trompée ?

Avec les parenthèses c'est juste: 1/(4 (5x-3)² -5) mais tu peux y arriver directement en faisant ce que j'ai dit plus haut càd remplacer x par g(x) dans l'expression de f(x).

A d'accord ! Donc si je fais 1/(4 (5x-3)² -5) directement, c'est juste ? Je ne suis pas obligée de faire une décomposition ?

J'ai une question supplémentaire à faire aussi concernant cet exercice :

"Etudier les variations de f puis de g à l'aide de 2 méthodes".

mais lesquelles ? :rolling_eyes:

Quelles sont les 2 méthodes ? :rolling_eyes:

Bjr Titboudchou,

Ton cours semble porter sur les composées de fonctions, mieux vaut peut-être détailler un peu :

fog : x ---g--> (5x-3)² = X --- f --> 1/ (4X-5) = 1/ (4(5x-3)²-5)

soit fog(x) = 1 / (100x² - 120x + 31)

Tu peux aussi décomposer fog à partir des 4 fonctions de références des précédentes questions.
Pour la présentation, inspire-toi de ce que vous avez fait en cours.

Etude des variations de f et g :

Une première méthode consiste à étudier le signe de la dérivée . . . si tu as vu ça en classe ?

Une seconde méthode consiste à utiliser la décomposition des fonctions f et g en fonctions de réf, cad utiliser tes résultats précédents.

Par ex, tu as trouvé que f = uov

Avec
v : x → 4x-5
et
u : x → 1/x

Tu es censée connaître les variations des fonctions de réf. Comment peux-tu en déduire les variations de f ?.

Bonjour.
Non je n'ai pas abordé le cours sur les dérivées (je sais qu'il existe puisque d'autres 1ereS que je connais l'ont fait).
Pour la seconde méthode, je peux dire que les sens de variation sont :

pour les fonctions affines 4x-5 et 5x-3 on aura D = R
pour la fonction carrée on a D= R+ (le "+" étant les réels positifs)
pour la fonction inverse on a D= R \ {0}
C'est bien ca ?

Il s'agit là des ensembles de définition.

Si je reprends f : x → 1 / (4x-5)

Quel est l'ensemble de définition de f ?

On l'appelle Df
Sur Df, f = uov

Avec
v : x → 4x-5
et
u : x → 1/x

Quel est le sens de variation de v ?
Quel est le sens de variation de u ?

Que peux-tu en déduire pour le sens de variation de f = uov ?

Il y a un théorème concernant la monotonie des fonctions composées.

Je ne vois pas ce que je peux faire ... :frowning2:
Dans mon cours, il y a un paragraphe "Opérations et variations" où il y a écrit ceci :
" **Soit u et v deux fonctions. On défini v o u.
v o u I -----> J -----> K
____ x ----> u(x) ---> v (u(x))
___________ X ------> v(x)

Si u est croissante de I vers J, et que v est croissante de J vers K, alors v o u est croissante de I vers K.
Si u est décroissante de I vers J, et v est décroissante de J vers K, alors v o u est croissante de I vers K.
Si u est croissante de I vers K ,et v est décroissante de J vers K, alors v o u est décroissante de I vers K.** "

Je devrais utiliser cela non ? Je détermine le domaine de définition des 2 fonctions f et g et je déduis leur sens de variation ?

Pour la méthode 1, j'utilise laquelle ?

Iron

Si je reprends f : x → 1 / (4x-5)

Quel est l'ensemble de définition de f ?

On l'appelle Df
Sur Df, f = uov

Avec
v : x → 4x-5
et
u : x → 1/x

Quel est le sens de variation de v ?
Quel est le sens de variation de u ?

Que peux-tu en déduire pour le sens de variation de f = uov ?

Il y a un théorème concernant la monotonie des fonctions composées.

Le sens de variation de v est : si un réel a>0, la fonction est croissante sur R.
Si un réel a<0, la fonction est décroissante sur R.
Le sens de variation de u est : décroissante car 1/x est toujours décroissante.

Donc si j'utilise la méthode que j'ai citée juste avant, je peux déduire que f est décroissante car on a une fonction croissante et une autre décroissante.
Ais-je juste ?

Pour la fonction f :

f(x) est définie ssi 4x-5 ≠ 0 donc Df = ] -∞ ; 5/4 [ U ] 5/4 ; +∞ [

Raisonnons d'abord sur ] -∞ ; 5/4 [ :

La fonction v : x → 4x-5 est strictement croissante sur ] -∞ ; 5/4 [ et a valeurs dans ] -∞ ; 0 [ (
v(] -∞ ; 5/4 [) = ] -∞ ; 0 [)

La fonction u : x → 1/x est strictement décroissante sur ] -∞ ; 0 [ et a valeurs dans ] -∞ ; 0 [

Donc, la fonction f=uov sera strictement décroissante sur ] -∞ ; 5/4 [ et a valeurs dans ] -∞ ; 0 [

En effet, u et v sont de monotonies contraires, uov est donc décroissante

A toi de faire la même chose sur ] 5/4 ; +∞ [

Edit : correction en rouge

Pourquoi est-ce qu'on a sur Df = ] -∞ ; 5/4 [ U ] 5/4 ; +∞ [
Sur ] 5/4 ; +∞ [ :

La fonction v : x→ 4x-5 est strictement croissante sur ] 5/4 ; +∞ [

5/4 ; +∞ [) = ] 0 ; +∞[)

La fonction u : x → 1/x est strictement décroissante sur ] 0 ; +∞ [ et a valeurs dans ] 0 ; +∞ [

Donc la fonction f = u o v sera strictement décroissante sur ] 5/4 ; +∞[ et a valeurs dans ] 5/4 ; +∞[.

Donc comme la fonction g sera toujours décroissante dans les 2 intervalles, je peux en conclure que la fonction f est croissante.

(car décroissante et décroissante donne croissante : je sais qu'il est "interdit" de résonner de cette manière, mais je pense que la méthode des "+" et "-" est utile pour retenir cette règle ci. )

Titboudchou15
Pourquoi est-ce qu'on a sur Df = ] -∞ ; 5/4 [ U ] 5/4 ; +∞ [
Sur ] 5/4 ; +∞ [ :

La fonction v : x→ 4x-5 est strictement croissante sur ] 5/4 ; +∞ [
et a valeurs dans
] 0 ; +∞ [( v( ] 5/4 ; +∞ [ ) = ] 0 ; +∞[ )

La fonction u : x → 1/x est strictement décroissante sur ] 0 ; +∞ [ et a valeurs dans ] 0 ; +∞ [

Donc la fonction f = u o v sera strictement décroissante sur ] 5/4 ; +∞[ et a valeurs dans
] 0 ; +∞ [.

Donc la fonction
fsera toujours décroissante sur les 2 intervalles, je peux en conclure que la fonction f est
décroissante sur Df.

Je me suis trompée, la fonction est croissante puis décroissante, donc f est décroissante sur Df.
C'est ce que je dois dire ?
Je ne comprends pas pourquoi les intervalles ont changé ? :rolling_eyes:

Exemple, quand on dit :

La fonction v : x→ 4x-5 est strictement croissante sur ] 5/4 ; +∞ [
et a valeurs dans ] 0 ; +∞ [

Cela signifie que si x prend toutes les valeurs possibles supérieures à 5/4, alors f(x) cad l'image de x prendra elle une valeur supérieure à 0.

En quelque sorte, on peut l'écrire comme ceci : v(] 5/4 ; +∞ [) = ] 0 ; +∞[

Il faut faire attention, dans le cas général

uov : x → v(x) → u(v(x))

la fonction u "voit " v(x) comme variable. Il faut que x appartienne à l'ensemble de définition de v et que v(x) appartienne à l'ensemble de définition de u. Le comportement de u dépendra de la valeur de v(x).

Pas facile par écrit.

Comme seconde méthode, tu pourrais étudier si la fonction f conserve ou inverse l'ordre sur chacun des intervalles de son ens de déf :

soit a et b deux réels de ] -∞ ; 5/4 [ tels que :

a < b
...

la méthode consiste à comparer f(a) et f(b)

à toi d'essayer.

Avec la méthode de comparaison, j'utilise f(x) ? Ou u et v ?

Désolée,je suis un peu perdue ... :frowning2:

Je te fais le début :

soit a et b deux réels de ] -∞ ; 5/4 [ tels que :

a < b ⇔
4a < 4b ⇔
4a -5 < 4b -5 ⇔
...
tu dois aboutir à
f(a) < ou > f(b)

Si f conserve l'ordre, elle est croissante
Si f inverse l'ordre, elle est décroissante

a < b ⇔
4a < 4b ⇔
4a -5 < 4b -5 ⇔
1/ 4a -5 < 1/ 4b-5 ⇔
f(a) < f(b)

Donc f conserve l'ordre et est croissante sur ] -∞ ; 5/4 [ ?

Ouille !

a < b ⇔
4a < 4b ⇔
4a -5 < 4b -5 ⇔
1/ (4a -5) > 1/ (4b-5) ⇔
car x →
1/xest décroissante sur notre intervalle, donc elle inverse l'ordre.
f(a) > f(b)

Donc f inverse l'ordre et est décroissante sur ] -∞ ; 5/4 [ ?

exemple :

2 < 3
1/2 > 1/3

Je quitte pour ce soir, bon courage.

Mais je ne comprends pas : pourquoi x → x² ?
:frowning2:
Mais je comprends l'exemple.
Merci dans tous les cas.
Si j'arrive a avancer dans mon exercice, je poste mes réponses.

Si quelqu'un m'aider... :rolling_eyes:

Effectivement, il s'agit bien sûr de x→1/x

Ouf ! Je me disais aussi...
Ah d'accord ! J'ai compris !
Et comment est-ce qu'on fait pour savoir comment varie la fonction en fontion des intervalles ? Comment est-ce qu'on sait que cela diffère ? (le sens de variation)

S'il vous plaît ..., j'aimerais en terminer avec cet exercice et enfin le comprendre
:frowning2:

HELP :rolling_eyes:

Pourriez-vous m'aider, je voudrais comprendre les différentes étapes de la méthode de comparaison et savoir, quelle est l'autre méthode à part celle des dérivées ? (leçon que je n'ai pas étudiée encore en cours)
:rolling_eyes:

Bonjour Titboudchou15

Je pensais voir que tu avais fini l’étude de f puis étudier g de la même façon . . . et non !

J’en déduis que tu n’as pas bien compris.

Les deux méthodes ont été commencées :

Méthode 1 : utilisation des théorèmes concernant la monotonie des fonctions composées :
f = uov
Si u et v ont même monotonie alors f = uov est croissante
Si u et v sont de monotonies contraires alors f = uov est décroissante
Méthode 2 : utilisation de la définition des variations de fonctions :
f est croissante sur I si pour tout a et b de I tels que a ≤ b alors f(a) ≤ f(b)
f est strictement croissante sur I si pour tout a et b de I tels que a < b alors f(a) < f(b)
f est décroissante sur I si pour tout a et b de I tels que a ≤ b alors f(a) ≥ f(b)
f est strictement décroissante sur I si pour tout a et b de I tels que a < b alors f(a) > f(b)
Méthode 3 : Etude du signe de la dérivée. Tu n’as pas vu les dérivées, on oublie donc cette méthode.

Etude du sens de variation de la fonction f

f(x) est définie ssi 4x-5 ≠ 0 donc Df = ] -∞ ; 5/4 [ U ] 5/4 ; +∞ [

f n’est pas définie en 5/4, il faut donc étudier f sur ces deux intervalles ] -∞ ; 5/4 [ puis ] 5/4 ; +∞ [ , cela avec les 2 méthodes.

Méthode 1 sur ] -∞ ; 5/4 [ --> voir post 26.10.2009, 15:53
Méthode 1 sur ] 5/4 ; +∞ [ --> voir post 26.10.2009, 16:42

Méthode 2 sur ] -∞ ; 5/4 [ --> voir post 26.10.2009, 18:02
Méthode 2 sur ] 5/4 ; +∞ [ --> à toi de faire mais c’est la même

A toi maintenant d’étudier les variations de g avec ces deux méthodes.

Allez, un petit effort . . .

Mais je n'arrvie pas a comprendre la méthode qui consiste à comparer pour aboutir a une conclusion... J'arrive toujours a la meme conclusin, je ne sais jamais pourquoi ! :frowning2:

Iron

Méthode 1 sur ] -∞ ; 5/4 [ --> voir post 26.10.2009, 15:53
Méthode 1 sur ] 5/4 ; +∞ [ --> voir post 26.10.2009, 16:42

Méthode 2 sur ] -∞ ; 5/4 [ --> voir post 26.10.2009, 18:02
Méthode 2 sur ] 5/4 ; +∞ [ --> à toi de faire mais
c’est la même

Quand vous dites "c'est la meme", c'est la même méthode ? C'est ca ? On obtiendra la meme réponse qu'avec la méthode 1 normalement non ?
Je suis désolée d'etre lente, mais j'aimerais comprendre :rolling_eyes:

Bonjour,

Méthode 2 : Variation de f sur ] 5/4 ; +∞ [

soit a et b deux réels de ] 5/4 ; +∞ [ tels que :

a < b ⇔
4a < 4b ⇔
4a -5 < 4b -5 ⇔
1/ (4a -5) > 1/ (4b-5) ⇔ car x → 1/x est décroissante sur notre intervalle, donc elle inverse l'ordre.
f(a) > f(b)

Donc f inverse l'ordre et est décroissante sur ] 5/4 ; +∞ [

Tout simplement.

Et bien sûr que quelle que soit la méthode utilisée on trouve que f est décroissante ! C'est plutôt rassurant non ?

A toi de faire l'étude des variations de g !

Quel est son ensemble de définition Dg ?

Méthode 1 sur Dg
Méthode 2 sur Dg

Merci beaucoup de m'avoir répondu

Méthode 1 sur Dg :

g(x) = (5x-3)²

Comme g est composée de 2 fonctions : 1 affine t(x) = 5x-3 dont Dt = R
et une carré w(x) = x² dont Dw = R.

g est définie SSI x = 3/5 donc Dg = ] 3/5 ; +∞ [

Titboudchou15
g est définie SSI x = 3/5 donc Dg = ] 3/5 ; +∞ [

Non. g s'annule pour x = 3/5 mais ce n'est pas une valeur interdite.

g(3/5) = 0 d'accord, mais g a bien le droit de s'annuler ...

Refais l'ensemble de définition Dg = ???

g(x) = (5x-3)²

Si tu appelles :

t(x) = 5x-3
et
w(x) = x²

Exprime g en tant que composée de t et w
Puis applique la méthode 1

3/5 n'est pas une valeur interdite ?
Dg = R car t(x) = 5x-3 a pour ensemble de définition R et w(x) = x² a pour ensemble de définition R. Il n'y a pas de restriction à faire.
Je dois décomposer g(x) ?

oui Dg = $mathbb{R}$
Oui. Mais tu es censée l’avoir fait à la question 1) ou 2) de ton exo ... voir ton premier post.

J'ai compris !
(La fatigue avait pris le dessus et j'ai eu du mal a réfléchir hier ..... )

Merci Beaucoup de m'avoir aidée
Et surtout ... Merci de votre patiente ...

N'oublie pas l'étude des variations de g !

Bon courage

Oui, c'est sûr que si je l'oublie ...

A bientôt peut-être.