Exercice sur la divisibilité et congruance. Spécialité Mathématique.



  • Bonjour tout le monde,

    Il y a quelques temps, j'avais déjà demandé votre aide pour la division Euclidienne, et bien me voilà bloqué avec la divisibilité.. tout court. 😕

    Je vous donne d'abord mon exercice :

    Prouver que 506050^{60} - 10099100^{99} est divisible par 7.

    Vous allez me dire, "Rien de bien compliqué". Mais je bloque quand même..

    Voilà comment j'ai commencé :

    50 = 7 x 7 + 1
    Donc 50 ≡ 1 [7] et 506050^{60} ≡ 1 [7]

    100 = 7 x 14 + 2
    Donc 100 ≡ 2 [7] et 10099100^{99}2992^{99} [7]

    D'où 506050^{60} - 10099100^{99} ≡ 1 - 2992^{99} [7]

    Mais la différence ne m'apporte rien, évidemment.

    Donc j'ai essayé de "jouer" avec les restes. Mais pas moyen de tomber sur 506050^{60} - 10099100^{99} ≡ 0 [7].

    Il doit donc il y avoir une autre méthode pour résoudre ce genre d'exercice mais notre professeur ne nous a indiqué que cette méthode.

    Y-a-t-il une astuce sur les congruences que je n'aurais pas vu ?

    Merci d'avance pour votre aide.

    M.



  • Tu n'as pas remarqué quelque chose avec 2 et 7.
    2...2^{...} ≡ 1 (mod7)

    Or : 99 = 7 x ... + ...

    2...2^{...} x 2...2^{...}1...1^{...} x 2...2^{...} (mod7)

    Je m'explique : Comme cela, tu trouve :

    10099100^{99}≡...(mod7) avec un nombre facile à manipulé. Je n'en dis pas plus.

    Bonne chance 😄



  • 232^3 = 7 x 0 + 1

    Donc 232^3 ≡ 1 [7]

    Par transitivité, 1003100^3 ≡ 1 [7]

    Et donc, 10099100^{99} ≡ 1 [7]

    C'est ça ?



  • Oui 🙂



  • Merci beaucoup.

    C'est vrai que c'était pas tellement compliqué, mais j'avais vraiment pas vu ça.

    Encore merci !


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