Exercice sur la divisibilité et congruance. Spécialité Mathématique.

Bonjour tout le monde,

Il y a quelques temps, j'avais déjà demandé votre aide pour la division Euclidienne, et bien me voilà bloqué avec la divisibilité.. tout court.

Je vous donne d'abord mon exercice :

Prouver que $50^{60}$ - $100^{99}$ est divisible par 7.

Vous allez me dire, "Rien de bien compliqué". Mais je bloque quand même..

Voilà comment j'ai commencé :

50 = 7 x 7 + 1
Donc 50 ≡ 1 [7] et $50^{60}$ ≡ 1 [7]

100 = 7 x 14 + 2
Donc 100 ≡ 2 [7] et $100^{99}$ ≡ $2^{99}$ [7]

D'où $50^{60}$ - $100^{99}$ ≡ 1 - $2^{99}$ [7]

Mais la différence ne m'apporte rien, évidemment.

Donc j'ai essayé de "jouer" avec les restes. Mais pas moyen de tomber sur $50^{60}$ - $100^{99}$ ≡ 0 [7].

Il doit donc il y avoir une autre méthode pour résoudre ce genre d'exercice mais notre professeur ne nous a indiqué que cette méthode.

Y-a-t-il une astuce sur les congruences que je n'aurais pas vu ?

Merci d'avance pour votre aide.

M.

Tu n'as pas remarqué quelque chose avec 2 et 7.
$2^{...}$ ≡ 1 (mod7)

Or : 99 = 7 x ... + ...

$2^{...}$ x $2^{...}$ ≡ $1^{...}$ x $2^{...}$ (mod7)

Je m'explique : Comme cela, tu trouve :

$100^{99}$ ≡...(mod7) avec un nombre facile à manipulé. Je n'en dis pas plus.

Bonne chance

$2^3$ = 7 x 0 + 1

Donc $2^3$ ≡ 1 [7]

Par transitivité, $100^3$ ≡ 1 [7]

Et donc, $100^{99}$ ≡ 1 [7]

C'est ça ?

Oui

Merci beaucoup.

C'est vrai que c'était pas tellement compliqué, mais j'avais vraiment pas vu ça.

Encore merci !