Polynôme et suite



  • Bonjours à tous j'ai un problème avec une question d'un exercice que je n'ai pas réussie à retrouvée dans le site alors si vous pouviez m'aider ça ne serait pas de refus :

    j'ai un polynôme P=(1/3)x^3-(1/2)x²+(1/6)x

    j'ai démontré que P(n+1)=1²+2²+3²...+n²

    cependant je n'arrive pas à en déduire que

    1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

    si jamais vous avez déjà résolu cette question comme je n'ai rien trouvé dans le site pouriez vous me mettre un lien

    Merci à tout ceux qui passerons du temps sur mon exercice 😄



  • il est en partie ici, ton exo :

    Helo01
    où tu avaissemblé comprendre...



  • Oui mais après avoir essayer à plusieurs reprises de le résoudre je n'y suis pas arrivée :frowning2:



  • Bon.
    Tu as réussi à montrer que 1² + 2² + ... + n² = P(n + 1), pour le polynôme
    P(x) = 1/3 x^3 - 1/2 x^2 + 1/6 x.
    Il reste à calculer P(n + 1) en remplaçant.
    P(n + 1) = 1/3 (n + 1)^3 - 1/2 (n + 1)^2 + 1/6 (n + 1)
    = 1/6 [ 2(n + 1)^3 - 3(n + 1)^2 + n + 1 ] (1)
    = 1/6 (2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n -3 + n + 1)
    = 1/6 (2n^3 + 3n^2 + n) = 1/6 n(2n^2 + 3n + 1)
    or, on vérifie facilement que
    (n + 1)(2n + 1) = 2n^2 + 3n + 1, le résultat est donc démontré.

    On peut faire mieux en factorisant par (n + 1) à la ligne marquée (1)



  • ok merci beaucoup


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