Les vecteurs - Relations de Chasles et démonstrations

Bonjour,

Je dois faire cet exercice pour la rentrée, mais je n'arrive pas à faire les démonstrations. Est-ce qu'il y a des méthodes a adopter suivant les cas ? Si oui, pouvez vous me les indiquer ?

L'énoncé est le suivant :

[Dans cet énoncé, toutes les égalités sont des vecteurs. C'est juste que je ne sais aps les représenter à l'ordinateur.. ]

**Soit ABC un triangle quelconque et P et Q les points tels que :
AP = 2/5 AB et AQ= 2/5 AC.

1.Construire lmes points P et Q.
2.Montrer que : 5PQ = 2BC.
3.Placer les points R et S tels que :
AR = AP + AQ et AS = AB + AC.
4.Montrer que les droites (PR) et (BS) sont parallèles.
5.Montrer que les points A, R et S sont alignés.**

Et voilà mes réponses :

Ici, je fais la relation de Chasles :
5PQ = 2BC
5PQ = 5PA+5AQ
= -2AB + 2AC
= 2BA + 2AC
5PQ =2BC
donc 5PQ = 2BC.
Voir figure question 1.
On a :
AR = AP + AQ donc APRQ est un parallélogramme donc (PR) // (AQ)
AS = AB + AC donc ABSC est un parallélogramme donc (BS) // (AC)
Je peux donc en déduire que les droites (PR) et (BS) sont parallèles entre elles.
Les points A, R et S sont alignés si et seulement si AR et AS sont colinéaires.
On démontre qu'il existe un réel k tel que : AS = k × AR
Mais je ne sais pas quoi faire aprés car je n'ai pas tellement d'informations sur les vecteurs AS et AR ... :rolling_eyes:

Merci de votre aide.

Bonjour,
Citation
2. Ici, je fais la relation de Chasles :
5PQ = 2BC
5PQ = 5PA+5AQ
= -2AB + 2AC
= 2BA + 2AC
5PQ =2BC
donc 5PQ = 2BC.
N'écris pas la ligne rouge avant de l'avoir démontrée.

Pour la question 4, tu peux aussi utiliser les vecteurs : PR = PA + AR
PR = PA + AP + AQ = AQ
et pareil pour BS = AC

Pour la question 5, calcule AR en utilisant AP = 2/5 AB et AQ = 2/5 AC

D'accord, donc pour la question 2. je marque :
5PQ = 5PA+5AQ
= -2AB + 2AC
= 2BA + 2AC
5PQ =2BC
donc 5PQ = 2BC.

Pour la 4. : Est-ce que ce que j'ai fais est juste ? Est-ce mieux de faire avec d'autres vecteurs ?
Pour la 5. : Je fais AR = AP + AQ
soit : AR = 2/5 AB + 2/5 AC
donc AR = 2/5 AB + 2/5 AC.
Mais je ne sais pas comment démontrer que les points sont alignés avec des vecteurs, je ne comprends pas :frowning2:

Citation
AR = 2/5 AB + 2/5 AC
Donc AR = 2/5(AB + AC)
AR = ??

Pour la 4, ce que tu as fait est correct.

Je reprends pour la 5:
AR = 2/5 AB + 2/5 AC
AR = 2/5(AB + AC)
AR = 2/5 BC ?

Non :
regarde l'énoncé: AB + AC = ?

Ah oui !
AR = 2/5 AB + 2/5 AC
AR = 2/5(AB + AC)
AR = 2/5 AS !
On peut en conclure que les points sont alignés maintenant qu'on a le coefficient k qui est 2/5 ?

C'est cela.
Je vais déjeuner.
A+

Merci Beaucoup !
Oui mais aussi ...
A bientôt. Et merci encore.