Exercice sur un polynome de degré 3 .

[ar2r]

Bonjour tout le monde ,
Depuis environ 3 h j'assaye de resoudre un exercice . Deseperé je m'adresse a vous et vous prie de m'aider .

Enoncé :

1. Determiner le polynome P de degré 3 tel que pour tout reel x , P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0
2. Demontrer que pour tout entier n≥1
   1²+2²+...+n²=P(n+1)
3. En deduire que : 1²+2²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6
4. En deduire la somme des carres des :
   a) 10 premiers entiers superieurs ou egaux à 1
   b) 100 premiers entiers superieurs ou egaux à 1.

Je ne vous demande pas de faire l'exercice a ma place , sa serais trop facile.. Je vous prie juste de me mettre sur la piste . De m'aider un peu . Je narriverais pas tout seul !

MERCI D'AVANCE !!

[mathtous]

Bonjour,
Pour la première question, pose P(x) = $a{x}^3$ + bx² + cx + d
Procède par identification en utilisant P(x+1) - P(x) = x²

[ar2r]

Effectivement P(x)=ax³ + bx² + cx + d
C'est ce que j'ai appris , mais je ne sais pas comment "proceder par indentification " .
D'apres ce que j'ai compris je doit faire :
P(x) = P(x+1)-x² = ax³ + bx² + cx + d

[mathtous]

Exprime P(x+1) : P(x+1) = $a(x+1{)}^3$ + ....
Puis développe et réduis P(x+1) - P(x)

[ar2r]

P(x+1) = a(x+1)³ + b(x+1)² +c(x+1) +d
= a[(x+1)²(x+1)] + b(x+1)² +c(x+1) +d
= a(x³ + 3x² + 2x +2 ) + b(x²+2x+1) + cx + c +d
= ax³ + 3ax² +a2x + 2a + bx² + 2bx + b + cx + c +d
???? :rolling_eyes:

[mathtous]

Il y a des fautes dans cette parenthèse : (x³ + 3x² + 2x +2 )
( donc la dernière ligne est fausse )

[ar2r]

Ah ! OK !
a(x+1)³ = x³ + 3x² + 3x +1
Donc je refais :

et si je devellope et reduit tout j'obtiens :

x²=3ax²+a3x+b2x+b+c+a ???

[mathtous]

Oui.
Regroupe les termes en x² , en x, et les termes constants : n'oublie pas que l'égalité est vraie pour tout x, donc les coefficients des deux côtés sont identiques.

[ar2r]

Donc a = 1/3
b = -1/2
c= 1/6
d = 0 ?

[mathtous]

Exact ( le dernier résultat provient de P(1) = 0 ).

Pour la question 2, utilise uniquement P(x+1) = P(x) + x² et P(1) = 0

[ar2r]

Cosmos MERCI BEAUCOUP pour la premiere question ... mais decidement cet exercice n'est pas fait pour moi ! Je ne comprends pas la suite .
Il faut demontrer donc faire une generalité ...

[mathtous]

Mathtous, pas Cosmos ...

n étant un entier, si tu établis l'égalité sans utiliser de valeur particulière, tu l'auras bien "démontrée".

La formule P(x+1) = P(x) + x² est vraie pour tout x. Tu peux l'appliquer lorsque x est un entier n:
Pour x = 1 , tu obtiens : P(2) = P(1) + 1²
Pour x = 2, tu obtiens : P(3) = P(2) + 2²
Et ainsi de suite jusqu'à x = n.
Tu ajoutes à gauche et à droite : ça se simplifie.