Exercice sur un polynome de degré 3 .
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Aar2r 27 oct. 2009, 15:09 dernière édition par
Bonjour tout le monde ,
Depuis environ 3 h j'assaye de resoudre un exercice . Deseperé je m'adresse a vous et vous prie de m'aider .Enoncé :
- Determiner le polynome P de degré 3 tel que pour tout reel x , P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0
- Demontrer que pour tout entier n≥1
1²+2²+...+n²=P(n+1) - En deduire que : 1²+2²+...+n²=[n(n+1)(2n+1)]/6
- En deduire la somme des carres des :
a) 10 premiers entiers superieurs ou egaux à 1
b) 100 premiers entiers superieurs ou egaux à 1.
Je ne vous demande pas de faire l'exercice a ma place , sa serais trop facile.. Je vous prie juste de me mettre sur la piste . De m'aider un peu . Je narriverais pas tout seul !
MERCI D'AVANCE !!
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Mmathtous 27 oct. 2009, 15:17 dernière édition par
Bonjour,
Pour la première question, pose P(x) = ax3ax^3ax3 + bx² + cx + d
Procède par identification en utilisant P(x+1) - P(x) = x²
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Aar2r 27 oct. 2009, 15:37 dernière édition par
Effectivement P(x)=ax³ + bx² + cx + d
C'est ce que j'ai appris , mais je ne sais pas comment "proceder par indentification " .
D'apres ce que j'ai compris je doit faire :
P(x) = P(x+1)-x² = ax³ + bx² + cx + d
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Mmathtous 27 oct. 2009, 15:40 dernière édition par
Exprime P(x+1) : P(x+1) = a(x+1)3a(x+1)^3a(x+1)3 + ....
Puis développe et réduis P(x+1) - P(x)
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Aar2r 27 oct. 2009, 16:03 dernière édition par
P(x+1) = a(x+1)³ + b(x+1)² +c(x+1) +d
= a[(x+1)²(x+1)] + b(x+1)² +c(x+1) +d
= a(x³ + 3x² + 2x +2 ) + b(x²+2x+1) + cx + c +d
= ax³ + 3ax² +a2x + 2a + bx² + 2bx + b + cx + c +d
???? :rolling_eyes:
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Mmathtous 27 oct. 2009, 16:06 dernière édition par
Il y a des fautes dans cette parenthèse : (x³ + 3x² + 2x +2 )
( donc la dernière ligne est fausse )
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Aar2r 27 oct. 2009, 16:16 dernière édition par
Ah ! OK !
a(x+1)³ = x³ + 3x² + 3x +1
Donc je refais :et si je devellope et reduit tout j'obtiens :
x²=3ax²+a3x+b2x+b+c+a ???
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Mmathtous 27 oct. 2009, 16:24 dernière édition par
Oui.
Regroupe les termes en x² , en x, et les termes constants : n'oublie pas que l'égalité est vraie pour tout x, donc les coefficients des deux côtés sont identiques.
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Aar2r 27 oct. 2009, 16:33 dernière édition par
Donc a = 1/3
b = -1/2
c= 1/6
d = 0 ?
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Mmathtous 27 oct. 2009, 16:35 dernière édition par
Exact ( le dernier résultat provient de P(1) = 0 ).
Pour la question 2, utilise uniquement P(x+1) = P(x) + x² et P(1) = 0
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Aar2r 28 oct. 2009, 08:05 dernière édition par
Cosmos MERCI BEAUCOUP pour la premiere question ... mais decidement cet exercice n'est pas fait pour moi ! Je ne comprends pas la suite .
Il faut demontrer donc faire une generalité ...
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Mmathtous 28 oct. 2009, 16:34 dernière édition par
Mathtous, pas Cosmos ...
n étant un entier, si tu établis l'égalité sans utiliser de valeur particulière, tu l'auras bien "démontrée".
La formule P(x+1) = P(x) + x² est vraie pour tout x. Tu peux l'appliquer lorsque x est un entier n:
Pour x = 1 , tu obtiens : P(2) = P(1) + 1²
Pour x = 2, tu obtiens : P(3) = P(2) + 2²
Et ainsi de suite jusqu'à x = n.
Tu ajoutes à gauche et à droite : ça se simplifie.