Traduire un énoncé par une suite numérique

Bonsoir! J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre un dm s'il vous plaît. Voici l'énoncé complet:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O,u,v) d'unité graphique 4cm. Soit A0 le point d'affixe 2, B0 le point d'affixe 2i et A1 le milieu du segment [A0B0]. Plus généralement, soit An est le point d'affixe Zn, on désigne par Bn le point d'affixe iZn et par An+1 le milieu du segment [AnBn]. On note Pn et Qn le module et un argument de Zn.

J'ai déjà répondu à plusieurs questions et j'en arrive à toutes ces données:

L'affixe de A0 est 2
L'affixe de B0 est 2i
L'affixe de A1 est 1 + i
L'affixe de B1 est -1 + i
L'affixe de A2 est i
L'affixe de B2 est -1
L'affixe de A3 est -(1/2) + (1/2)i
(Ces points ont été placé sur un graphique)
P0 = 2
P1 = racine(2)
P2 = 1
P3 = racine(2)/2
Q0 = 0
Q1 = pi/4
Q2 = pi/2
Q3 = 3pi/4
(Zn+1)= ((1+i)Zn)/2
(Pn) = 2 * (racine(2)/2)^n
(Qn) = (n*pi)/4
0 est la valeur de n où Z est réel
lim (Pn) quand n tend vers + infini = 0
(On en déduit que les points A vont petit à petit se rapprocher de l'origine)

A présent on admet la propriété suivante : Soit A le point d'affixe Za et B le point d'affixe Zb on a alors : AB = valeurabsolu ( Zb - Za )

Il faut établir qu'on a An+1 An = racine(2)/2 An An-1

Aidez-moi svp!

J'imagine qu'il s'agit de la longueur du segment [An+1 An] qui correspond à la longueur du segment [An An-1] multiplier par racine(2)/2.

Je suppose donc d'après le théorème que:

An+1 An = module ( 2 * ((1+ i)/2 ))^n - 2 * ((1+i)/2)^(n+1) )
An An-1 = module ( 2 * ((1+i)/2)^(n-1) - 2 * ((1+i)/2)^n )

Mais je ne vois pas en quoi cela m'avance. De plus, je voudrais donc savoir si il y a une différence entre valeurabsolu et module. Pouvez-vous m'aidez svp?

C'est bon j'ai réussis merci!