Arithmétique : Congruence

Bonjour! Pouvez-vous m'éclairer afin que je trouve la bonne méthode svp. Voici l'exercice:

Soit p un nombre premier. On considère les deux équations suivantes: (E) : 6n² + 5n + 1 = 0 et (Em) : 6n² + 5n + 1 congru à 0 modulo 7. On note P le nombre 6n² + 5n + 1

On a justifié que P est congru à -n² + 5n + 1 modulo 7 et on souhaite réaliser une "mise en forme canonique modulo 7". Pour cela on a trouver un entier b tel que -(n-b)² congru à -n² + 5n - b² modulo 7 ce qui équivaut à 2b congru à 5 modulo 7. On sait donc que b = 6 en dressant le tableau donnant les restes de la division euclidienne de 2x par 7 pour x entier compris entre 0 et 6.

A l'aide des questions précédentes, déterminer deux entiers naturels b et c, compris entre 0 et 6, tels que (Em) est équivalente à l'équation -(n-b)²+c congru à 0 modulo 7.

Sauriez-vous m'éclairer?

J'aurai une autre question à préciser:

Le polynôme 6n²+5n+1 admet-il une factorisation de la forme a(n-b)(n-c) avec a, b et c entiers?

Aidez-moi svp

Bonjour,
Tu as déjà trouvé b
En développant -(n-6)² +c , et en comparant avec Em, tu trouves c.

Pour ta seconde question, la réponse est oui.
Tu peux toujours chercher les racines du polynôme 6n² + 5n + 1, mais ici on peut trouver la factorisation de tête.

Merci je pense avoir trouvé! Seulement on me demande maintenant si il existe une autre manière de factoriser P modulo 7. Je ne sais pas quoi répondre. SVP

Si tu factorise directement 6n²+5n+1 tu trouves (2n+1)(3n+1)
C'est valable pour tout n ( entier ou pas ).
Mais tu as résolu l'équation (Em) : P ≡ 0 modulo 7
Tu as trouvé deux solutions : 2 et 3 modulo 7
Donc P peut se factoriser en -(n-2)(n-3) qui est valable seulement modulo 7.

Merci!

De rien.