Algorithme de Babylone en s'aidant des suites

Bonjour j'ai cet exercice à faire mais je n'arrive pas le faire entièrement:

1)On considère la fonction f, définie sur]0.+∞[ par f(x)=1/2(x+2/x)
a)Étudier le sens de variation de f.
b)Étudier les limites de f en 0 et en +∞et montre que la courbe représentative ℘f admet une asymptote oblique ∇.
c)Représenter graphiquement ℘f et ∇. Préciser les coordonnées du points d'intersection de ℘f avec la droite d'équation y=x.

2)On définit une suite (Un) par U0=1 et U(n+1)=f(Un)
a)Représenter graphiquement les premiers termes de la suite.
b) Conjecture alors le comportement de (Un): sens de variation et limite

3.a)Calculer U1,U2;U3 et U4 sous forme fractionnaire.
b)Vérifier à l'aide de la calculatrice les inégalités: U0<√2<U4
c)Monter par récurrence que, pour n≥1:
√2<Un+1
En déduire le sens de variation de (Un)n ainsi que la convergence de (Un).
4.a) Monter que , pour tout n≥1:
valeur absolu de (Un-√2)≤1/2(U(n-1)-√2)²
b)Vérifier que valeur absolue de (U0-√2)<1/2
En déduire par récurrence que, pour tout n≥0:
valeur absolue de (Un-√2)≤ $1/2)^{(2n+1-1)}$
c)Prouver que, pour tout n≥0, $2^{n+1}$ -1≥n+1
En déduire la limite de (Un).

j'ai réussis à faire le début c'est à dire:
1.a)fait
1b)fait
1c)fait
2a)fait
2b)fait
3a)fait
3b)fait

je bloque au 3c). Merci de m'expliquer comment faire

Bonjour,
Tu peux démontrer l'inégalité par récurrence sur n.
Pour en déduire la limite de la suite, n'oublie pas que 1/2 est inférieur à 1.

Si le sujet t'intéresse, tu peux lire un article sur l'algo de Héron ici :

Algorithme de Héron

Bonjour
merci de m'avoir répondu, j'ai finalement réussi à le démonter par contre je bloque à la question suivante c'est-à-dire la question 4, donc si vous pouvez m'aider.

Merci d'avance

Pour la 4)a), calcule $U_n$ - √2 en utilisant la définition de $U_n$ en fonction de $U_{n-1}$

je n'arrive pas à calculer Un en fonction de $U_{n+1}$

U(n+1)=f(Un)

De même, $U_n$ = $f(U_{n-1}$ ) = $1/2(u_{n-1}$ + $2/u_{n-1}$ )
Tu remplaces dans Un - √2

d'accord ensuite je fait quoi avec √2
merci

Tu le gardes !
Un - √2 = $1/2(u_{n-1}$ + $2/u_{n-1}$ ) - √2
Réduis tout au même dénominateur :
Un - √2 = ...

$1/2((U_{n-1}$ ²+2-2√ $2 * U$ {n-1} $U</em>{n-1}$ )

Mets aussi 1/2 entre parenthèses, sinon il y a confusion.
Et que penses-tu de $U_{n-1}$ ²+2-2√ $2*U_{n-1}$ ?

ok
c'est positif non??

Mieux que ça.
Tu as déjà oublié les fameuses identités remarquables ?

ahhh oui c'est vrai: $U_{n-1}$ -√2)²

Donc : Un - √2 = (1/2) $U_{n-1}$ -√2)² $U_{n-1}$
C'est presque ce qu'on te demande : il y a juste le $U_{n-1}$ qui gêne au dénominateur. Mais il ne gêne pas vraiment car il est ...

positif?? :frowning2:

Evidemment, mais c'est loin de suffire.
Qu'as-tu démontré dans les questions précédentes ?
As-tu établi que Un ≥ √2 pour n ≥ 1 ?

oui j'ai monté que Un est bornée:√2<Un<3/2

Avec l'inégalité dans ce sens : Un ≥ √2 ?
Dans ce cas , Un > 1
Son inverse est donc un nombre positif
inférieurà 1.
Conclusion ?

ah ok donc $1/U_{n-1}$ =1

d'où Un-√ $2=1/2(U_{n-1}$ -√2)²
mais comment on fait pour démonter l'inégalitée? c'est la mêm chose?
et la valeur absolu?

merci

Non .
Il n'y a pas égalité :
$U_{n-1}$ > 1 donc $1/U_{n-1}$ < 1
Mais c'est justement un inégalité qu'on te demande d'établir.

d'accord
et la valeur absolue?

Un > √2 , donc Un - √2 > 0 , donc égal à sa valeur absolue.
Ici, la valeur absolue ne sert à rien.

ok MERCII
je vais faire la question suivante 4b) la récurrence et j'espère que je vais réussir

Bon courage.

mercii

est-ce vous pouvez m'aider SVP car depuis tout a l'heure je cherche mais toujours rien: question 4b) récurrence

merci d'avance

Commence par vérifier que l'égalité est vraie pour n = 0.
Pour l'hérédité, utilise l'inégalité établie au 4)a) : écris-la au rang n+1 :
$U_{n+1}$ - √2 ≤ ...

Proposition: $U_n$ -√2≤ $1/2(^{2n+1-1}$ )

initialisation: vrai
hérédité: on suppose que $U_n$ -√2≤ $1/2(^{2n+1-1}$ ) et montrons le pour $U_{n+1}$

$U_n$ -√2≤ $1/2^{2n+1-1}$ )
$U_n$ -√2)²≤ $1/2(^{2n+1-1}$ )²
$U_n$ ²-2√ $2u_n$ +2≤ $1/2(^{2n+2-2}$ )
$1/2(u_n$ ²-2√ $2u_n$ +2)≤ $1/2(^{2n+2-1}$
$U_{n+1}$ -√2≤ $1/2(U_n$ -√2)²≤ $1/2(^{2n+2-1}$

⇒ $U_{n+1}$ vraie

donc la proposition est vraie ∀n≥0

est-ce que c'est juste??

merci

Je vois des erreurs; par exemple 1/2 qui n'est pas élévé au carré dans
(Un - √2)² = ...
La présentation est peu claire.
Je serais parti de : $U_{n+1}$ - √2 ≤ (1/2)(Un - √2)² déjà démontré.
Donc, selon l'hypothèse de récurrence Un - √2 ≤ $1/2)2^{n+1 -1}$ ,
$U_{n+1}$ - √2 ≤ (1/2)[ $1/2)2^{n+1 -1}$ ]²
Ensuite je calcule le carré :
$U_{n+1}$ - √2 ≤ (1/2)[ $1/2)2^{n+2 -2}$ ]
Je fais "entrer" le 1/2 dans la puissance :
$U_{n+1}$ - √2 ≤ $1/2)2^{n+2 -1}$
C'est ce qu'on souhaite.

Vérifie que je n'ai pas laissé d'erreurs.

ah ok merci beaucoup
je ne vois pas d'erreur!

est-ce que vous pouvez m'aider pour 4c) et 5 parce que je ne vois vraiment comment faire!

merci d'avance

Pour la 4)c) j'avais déjà répondu :
Citation
Bonjour,
Tu peux démontrer l'inégalité par récurrence sur n.
Pour en déduire la limite de la suite, n'oublie pas que 1/2 est inférieur à 1.

Si le sujet t'intéresse, tu peux lire un article sur l'algo de Héron ici :

Algorithme de Héron

Et je ne vois pas de question 5 ?

oui désolé j'avais oublié!je l'ai pas mise parce que je devais pas la faire , le prof n'a supprimé!!

par contre la question 4c) je dois la faire mais je sais pas comment m'y prendre

merci

$2^{n+1}$ -1≥n+1
est vraie pour n = 0
Elle s'écrit aussi : $2^{n+1}$ ≥ n+2
L'hérédité est facile à prouver.

ah c'est par récurrence!
je dois élevé au carré?
je vois vraiment pas comment faire :frowning2:
merci

Elle s'écrit aussi : $2^{n+1}$ ≥ n+2
Tu dois en déduire que $2^{n+2}$ ≥ ...

$2^{n+2}$ ≥2n+4

Et ce que l'on souhaite dans l'hérédité , c'est trouver $2^{n+2}$ ≥ (n+1)+2
Est-ce que 2n+4 ≥ n+3 ?

franchement j'ai rien compris!!
j'arrive pas à voir ce que je dois montrer :frowning2:

On veut démontrer que $2^{n+1}$ - 1 ≥ n+1 pour tout n ≥ 0
C'est équivalent à démontrer que $2^{n+1}$ ≥ n+2
Jusque là tu comprends ?