Démontrer qu'un nombre >0 ajouté à son inverse a une somme minimale de 2

Bonsoir

J'ai quelques conseils à vous demander pour un exercice de démonstration: "On choisit un nombre strictement positif et on l'ajoute à son inverse. Quelle somme minimale peut-on obtenir?"

J'ai pensé faire une conjoncture avec ma calculatrice graphique: j'ai tracé la courbe f(x)= x + (1/x). J'ai vu qu'elle était définir sur R{0}, et qu'elle était croissante sur ]-∞;-1]U[1;+∞[ et décroissante sur [-1;0[U]0;1]. J'ai également remarqué que f(x) avait un minimum en 1 qui est 2.
J'en ai déduit que si l'on ajoute à un nombre strictement positif son inverse, la somme minimale que l'on peut obtenir est : 1 + (1/1)= 2.

Seulement pour le démontrer, c'est une autre affaire. J'ai voulu utiliser le fait que f est la somme d'une fonction affine (u(x)=x) et d'une fonction inverse (v(x)=1/x), mais je ne peux pas conclure car l'une est toujours croissante et l'autre toujours décroissante.. D'autre part, j'ai pensé à utiliser deux réels a et b pour établir un encadrement mais ce n'est pas possible car x apparait deux fois dans l'expression.

Si vous avez des conseils pour me mettre sur la voie, je vous en serai très reconnaissante

Bonjour,

Tu as eu la bonne intuition. Actuellement , comment trouves tu les sens de varaition d'une fonction ? Car il faut bien trouver le sens de variation de la fonction f définie par f(x) = x + 1/x

As tu vu la dérivation ou le fais-tu avec les compositions de fonctions ?

Bonjour,

Non je n'ai pas vu la dérivation. Mais j'ai vu les compositions, c'est vrai. Je peux réellement les utiliser ici?

Oui c'est la méthode à utiliser, ici, en se limitant à ]0 , +∞[ , puisque x est un nombre strictement positif !

Oui, ici on doit restreindre la fonction à R+.
Par-contre, je ne vois pas comment "composer" x+ 1/x, nous n'avons pas beaucoup travaillé les compositions en classe et elles n'étaient pas au devoir non plus donc je reste assez "fragile" dans ce domaine. Pourriez-vous s'il vous-plait me rappeler comment procéder? Surtout que jene vois pas comment peuvent apparaître deux termes en x avec vou(x) par exemple.

en effet la méthode vou n'est pas évidente ici !

la méthode de seconde ,

prendre 2 réels a et b tels que 0 < a < b ≤ 1 et comparer f(a) et f(b) , en étudiant le signe de f(a) - f(b)

prendre 2 réels a et b tels que 1 ≤ a < b et comparer f(a) et f(b) , en étudiant le signe de f(a) - f(b)

merci pour les indications mais, en principe, je n'ai pas le "droit" d'écrire ceci:

0 + 1/a > a + 1/a > b + 1/b ≥ 1 + 1/1... je ne peux aps avoir deux termes en a dans un même membre avec cette méthode,si? En tout cas, on m'a toujours dit que je ne pouvais pas :frowning2:

Par ailleurs, j'ai oublié pourquoi je voulais étudier les variations de la courbe... mon objectif est de prouver que la somme minimale de x + 1/x est 2.. aaaah cela apparaît après, je vois..

Toujours est-il que je suis toujours gênée par ce que je vous ai dit au début de cette réponse. Mathématiquement, c'est vraimnt possible?

Il faut bien montrer que f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[

avec la méthode de seconde :

prendre 2 réels a et b tels que 0 < a < b ≤ 1 et comparer f(a) et f(b) , en étudiant le signe de f(a) - f(b)

prendre 2 réels a et b tels que 1 ≤ a < b et comparer f(a) et f(b) , en étudiant le signe de f(a) - f(b)

Ce que je ne comprends pas c'est d'où je fais apparaitre le deuxieme "a" lorsque j'écris : o + 1/0 > a + 1/a > etc... mes professeurs m'ont toujours dit qu'il ne pouvait pas y avoir dans un encadrement, deux termes de la même inconnue dans un même membre.

f(a) - f(b) = (a + 1/a) - (b + 1/b) = .....

à factoriser astucieusement pour en étudier le signe dans les 2 cas .

ah d'accord, je n'avais pas compris le lien avec la différence des images j'y réfléchis de ce pas, merci.

Zorro, j'ai calculé f(a)- f(b) = (a+1/a) - (b+1/b) = a + 1/a - b - 1/b = a2/a + 1/a - b2/b - 1/b = (a2 + 1)/a - (b2 - 1)/b = (b (a2 + 1) )/ab -
a(b2 - 1)/ab = (ab2 + b - ab2 + a ) / ab = ab / ab = 1 ??

D'accord, je n'ai pas factorisé ^^ mais de toute façon, le "-" devant f(b) me gêne...

Bonjour !

Je suis sur cet exercice de démonstration depuis hier après-midi, je n'arrive pas à factoriser f(a) - f(b) pour étudier son signe.
Je reprends: je dois démontrer que f:x -> x + 1/x est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;∞[.
Pour ce faire, je sais que je dois vérifier, si a<b,que f(a) < f(b) (cas où la courbe est croissante) ou que f(a) > (fb) (cas où la courbe est décroissante).
J'aimerais faire deux encadrements:

soient a et b deux réels tels que 0 < a < b ≤ 1 (pour montrer que la courbe est décroissante sur le premier intervalle énoncé plus haut)
-soient a et b deux réels tels que 1 ≤ a< b (pour montrer que la courbe est décroissante sur le deuxième intervalle énoncé plus haut)

Je bloque là-dessus... Quelqu'un serait-il diposé à m'aider s'il-vous-plaît?