Conjecturer puis démontrer par récurrence l'expression de la dérivée nième d'une fonction

[boubouille]

bonjours
j aimerai de l'aide pour mon exercice
on a une fonction f définie sur R par : f(x)=cosx
on doit demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n $f^{(n)}$ (x)=cos(x+n($pi$/2)

je sais que $f^{(n)}$ désigne la fonction dérivée nième de la fonction f et que la dérivée 0ième de la fonction f : $f^{(0)}$=f

au départ j ai démontré que p(0) est vrai
$f^{(0)}$ (x) = f(x)
et cos (x+ 0*$pi$/2) = cos x

ensuite pour l'hérédité j'ai des problème
il faut arriver à démontrer que $f^{(n+1)}$ (x) = cos(x+(n+1)($pi$/2))

je ne sais pas par quoi commencer
pourriez vous m aider sans me donner la réponce

[mathtous]

Bonjour,
Partant de $f^{(n)}$(x)=cos(x+n(π/2)) , dérive.
Ensuite, souviens-toi des formules de trigo : cos ( α + π/2) = ...

[boubouille]

merci de vouloir m aider

donc pour moi la dérivé de $f^{(n)}$(x) est -sin(x+n($pi$/2))

puis je ne comprend pas pourquoi les formules trigo vont m aider mais
cos ( α + $pi$/2) = -sin α

[mathtous]

Pose α = x + π/2

[boubouille]

si α = x + $pi$/2
alors cos ( (x + $pi$/2) + $pi$/2) = - sin ( x + $pi$/2)
cos ( x + $pi$ ) = - sin ( x + $pi$/2) (= - sin x )

apres je pourais remplacer - sin ( x + $pi$/2) par le résultat trouvé mais je ne suis pas sur de moi

[mathtous]

Tu as trouvé $f^{(n+1)}$(x) = -sin(x+n(π/2)) = - sin α
= cos ( α + π/2) = cos ( x + n(π/2) + π/2 )= ...

J'ai dû oublier le "n" dans mon précédent message.

[boubouille]

cos ( x + n ($pi$/2) + $pi$/2) = cos ( x + (n+1) ($pi$/2) )
donc on a bien démontrer que f ${}^{(n+1)}$ (x) = cos ( x + (n+1) ($pi$/2) )

merci beaucoup tu m'as beaucoup aidé sa fait 3 jours que je bloquais dessus
merci encore

[mathtous]

De rien
A+