Equation de Pell-Fermat

Bonjour,

j'aurai besoin d'une petite aide pour démontrer certaines propriétés.
On nous donne la formule suivante a² - 2b² = 1 et on nous demande de démontrer:

a et b sont premiers entre eux
a est impair
b est pair

alors pour la premiere je ne sais pas du tout comment faire, pour les deux dernieres, j'ai isolé a et b , mais je n'arrive pas à des formes telles que a = 2k + 1 et b = 2k , mais à a = √(1+2b²) et b² = ( -1 + a² ) / 2 ...

Merci d'avance pour votre aide !
Loris

Bonjour,
Soit d un diviseur commun de a et b : que divise-t-il ?

je sais que quand ils st premiers entre eux, leurs diviseurs communs sont 1 et -1

Ce n'est pas ma question .
Si d divise a , il divise aussi a²
Si d divise b, ...

il divise aussi b² , d'accord, je ne savais pas.
Mais aprés , comment faire ?

Si d divise b², il divise aussi ...
regarde ce que tu cherches obtenir.

Juste, vous m'aidez bien pour le fait qu'ils soient premiers entre eux ? parce que dans ce cas on a d divise a² et b² , donc d divise a et b .... mais aprés?

Non : on part de d divise a et b , et non le contraire.
Donc d divise a² et b².
Donc d divise a² et 2b²
Donc d divise ...

Désolé pour le temps , mais j'vois vraiment pas à quoi arriver, parce que maintenant on peut pas dire que d divise a² - 2b² ?

Merci pour votre aide et patience en tout cas
Loris

Si !
d divise a² et 2b², donc il divise leur différence a² - 2b²
Et si on veut que a² - 2b² = 1 , d doit donc diviser 1 : c'est donc 1 ou -1
Par suite, 1 et -1 sont les seuls diviseurs communs de a et b : a et b sont bien premiers entre eux.

aah d'accord ! merci beaucoup !!

Tu sais faire la suite ?

La suite pour l'instant ca va, toute façon je vois avec mon prof demain
Merci beaucoup en tout cas