Démonstration congruence Maths Spé

Bonjour à tous,

Je dois faire la démonstration de a^p ≡ b^p ( mod n).
Je pensais faire une démo par récurrence.
Pour l'hérédité, je suppose que a^p ≡ b^p et vrai, et par multiplication des congrences avec a ≡ b (mod n), on a bien a^p+1 ≡ b^p+1 ( mod n).
Est ce correct ? Quelqu'un a t-il une autre idée pour démontrer cette propiété ?

Merci d'avance.

Bonjour,
Oui : $a^p$ $b^p$ est divisible par a-b
Donc si a ≡ b modulo n, a-b ≡ 0
Donc $a^p$ $b^p$ ≡ 0
Donc $a^p$ ≡ $b^p$

Merci beaucoup ! Mon prof nous faisait passer par n divise a-b par exemple pour démontrer d'autres propriétés come a-a' ≡ b-b'.
Connais tu cette démonstration ?

Merci encore

Ca dépend des conditions sur a,b,a',b'.
Donne un énoncé complet.

HYP : a, b,a', b' ∈ $mathbb{Z}$ ^4 * $mathbb{N}$

On a a ≡ b ( mod n) et a' ≡ b' (mod n)
Donc n | a-b et n | a' -b'
Donc n | (a-b) + (a' - b')
Donc n | (a+a') - (b+b')

et on a bien a+a' ≡ b+b' ( mod n).

Dans la démonstration que je dois faire, a et b sont des entiers relatifs non nuls.
On sait que a ≡ b (mod n) et on doit démontrer que a^p ≡ b^p ( mod n).

Citation
On a a ≡ b ( mod n) et a' ≡ b' (mod n)
Donc n | a-b et n | a' -b'
Donc n | (a-b) + (a' - b')
Donc n | (a+a') - (b+b')

et on a bien a+a' ≡ b+b' ( mod n).
Correct.
Les autres démonstrations possibles sont en fait simplement des présentations différentes.

Citation
Dans la démonstration que je dois faire, a et b sont des entiers relatifs non nuls.
On sait que a ≡ b (mod n) et on doit démontrer que a^p ≡ b^p ( mod n).On l'a vu plus haut ? C'est fait.
Il n'est pas obligatoire de poser a et b non nuls.

Tu veux dire que je peux écrire

a ≡ b (mod n)
donc n | a-b
on a n| a^p - b^p
et on a donc bien a^p ≡ b^p

?

Après n |a-b, il faut préciser que a-b | $a^p$ - $b^p$
A condition évidemment de savoir à priori que a-b | $a^p$ - $b^p$

Et comment on le sait ?

Identités remarquables ...
a² - b² = (a-b)(a+b)
$a^3$ - $b^3$ = (a-b)(a²+ab+b²)
etc
Si tu ne les a pas vues, tu ne peux pas utiliser cette démonstration.

si si, je les ai vu.

donc, dans ma présentation je peux dire que
je sais que a² - b² = (a-b)(a+b), donc (a-b) | a^p - b^p

On a alors n | a-b et a-b | a^p - b^p
Donc n| a^p - b^p

C'est ça ?

Tu les a
toutesvues ou seulement a² - b² ?
Citation
je sais que a² - b² = (a-b)(a+b), donc (a-b) | a^p - b^p
Parce qu'ici tu mélanges les exposants 2 et p.
Ca ne va pas.

j'ai vu les ² et les ³. Oui j'ai remarqué après, désolé. Alors comment faire dans ma présentation ?

Si tu n'as pas vu les autres, il n'y a que ta démonstration par récurrence ( celle que tu donnes au début ).

Bon d'accord, merci beaucoup mathtous !

De rien.