petit coup de pouce sur les nombres complexes svp

bonjour,
j'ai un dm de math à rendre prochainement et je ne parviens pas à traiter deux questions d'un exercice. Pouvez-vous m'aider ?

On se propose de déterminer les nombres complexes tels que : z^2= 24 + 70i.
Posons z=x+yi

1/ Montrer que si z est racine carrée de 24 + 70i alors (x;y) est solution du système x^2-y^2= 24
xy > 0
x^2+y^2 = 74
⇒Je parviensà montrer x^2-y^2= 24 simplement en développant (x+yi)^2 mais je ne sais pas comment parvenir à x^2+y^2 = 74

2/résoudre le système : on montrera qu'il il y a exactement 2 solutions

⇒j'obtiens x= 7 ou -7 et y = 5 ou -5

En déduire que pour tout couple de réels (x,y) (x+yi)^2 = 24 + 70i ⇔ système x^2-y^2= 24
xy > 0
x^2+y^2 = 74

⇒je ne comprends ce qu'on attend dans cette seconde partie de question

3/Quelles sont les racines carrées de 24 + 70i ?

⇒ z= -7-5i et z=7+5i ?

Merci pour votre aide

Bonjour,
x²+y² est le carré du module de z.
Calcule le module de z sachant que z² = 24 + 70i

j'ai compris merci.
mais que me demande t-on à la question 2/b ?

En déduire que pour tout couple de réels (x,y) (x+yi)^2 = 24 + 70i ⇔ système x^2-y^2= 24
xy > 0
x^2+y^2 = 74

Tu as démontré à la première question l'implication :
(x+iy)² = 24 + 70i => le système
Dans la question 2a, tu as résolu le système : tu trouves deux solutions :
(7;5) et (-7;-5)
Dans la question 2b, tu dois donc établir la réciproque :
le système => (x+iy)² = 24 + 70i
Autrement dit, il te suffit d'effectuer la vérification ( pour chacune des solutions ).

Une question toutefois concernant les solutions du système : pourquoi 2 solutions ( et pas 4 par exemple ? ) : c'est juste pour voir si tu as bien compris.

si z est racine carré de z^2 alors -z l'est forcément aussi nn ?
merci pour l'explication grâce à ces précieuses indications je vais pouvoir poursuivre mon dm.

Oui, mais cela répond seulement à la question : pourquoi 2 solutions ?
Ca ne répond pas à la question : pourquoi pas davantage ?
On aurait pû penser aussi aux couples (7;-5) et (-7;5).
Mais ils ne sont pas solutions du système car dans ce système il y a la clause importante : xy > 0

et cette clause nous viens du développement de (x+y)^2 qui nous permet d'obtenir xy= 70 ?

Exactement : elle doit donc figurer dès la première question ( partie directe ).
Attention : tu as oublié le "i" : (x+iy)² et on obtient 2xy = 70

a oui oups j'ai tapé trop vite. merci.

j'aurais juste encore besoin d'un petit conseil
si j'ai cosx=√3/2x.
est ce que montrer que cos x est strictement décroissante sur I=0;pi/2. et que √3/2x est strictement croissante sur I ayant démontrer que ces deux fonctions sont continues peut suffire a affirmer qu'il existe une seule solution a l'équation sur R. Et si jms cela suffit ne faurait t-il mieux pas passer par la dérivée de cosx/x - √3/2 afin de mettre en place le théorème des valeurs intermédiaires et déterminer un encadrement de la solution comme ceci est demandé ? En fait ne faut -il pas mieux traiter une seule fonction que deux séparement?

Tu veux dire la dérivée de f(x) = cos x - (√3/2)x ?
C'est préférable à l'autre méthode car :

c'est plus rigoureux
surtout, la première méthode prouve seulement qu'il y a une solution dans l'intervalle [0 ; pi/2], mais on ne sait rien du côté des valeurs négatives : est-ce que la sinusoïde descend suffisamment pour recouper la droite ou pas.

Donc pour moi, la seconde méthode est préférable ( ici, car pour d'autres exercices, ce n'est pas forcé ).