Scindé: système avec PGCD



  • quelqu'un peut me dire si celui ci est juste ? svp

    *Déterminer les couples (x;y) d'entiers naturels solutions du systèmes

    ) x²-y²=5440
    )PGCD(x,y)=8

    Merci beaucoup pour votre aide.

    *Cela s'écrit (x+y)(x-y)=5440

    x+y est donc un diviseur de 5440 et x-y s'en déduit aussitôt.

    Toutefois pgcd(x,y)=8 d'où x=8x' et y=8y' avec x' et y' premiers entre eux.On remplace et on détermine x' et y'.

    64(x'+y')(x'-y')=5440

    (x'+y')(x'-y')=85

    on recherche alors les diviseurs de 85.

    x'+y' est l'un d'entre eux , x'-y' s'en déduit ; on ne garde que les couples d'entiers naturels premiers entre eux.

    donc les 4 possibilités sont:

    x'+y' =85 et x'-y'=1
    x'+y' =1 et x'-y' =85
    x'+y' =17 et x'-y'=5
    x'+y' =5 et x'-y'=17

    car D85=-85, -17, -5, -1, 1, 5, 17, 85
    mais on ne prend que les entiers naturels
    17-y'=5+y' et 12=2y' et y'=6
    alors dans ce cas on a y'=6 et x'=11 et de là on a un couple (x,y) où x=88 et y=48
    c'est ça???
    merci d'avance



  • la je croi que j'ai trouvé les couples sont (344,336) et (88,48)
    c'est ça?


 

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