Problème Suite (need help)

Bonjour, voila j'ai un devoir maison à rendre, pour la semaine prochaine. Le sujet nous a été donné il y a 3 jours, et cela fait 3 jours que je bosse dessus sans avancer. Je voulais savoir si je pouvais avoir un petit coup de main ^^.

Enoncée:

On dispose de deux verres de même contenance 20cL.
Le verre (1) est plein d'eau et le verre (2) contient 10 cL de vin.
A l'aide du verre (1), on remplit le verre (2), puis après avoir rendu le mélange homogène dans le verre, on remplie le verre (1) en utilisant le verre (2).
On répète plusieurs fois cette opération.

On se pose les questions suivantes:
La proportion du verre (1) peut-elle être:
A) Supérieur à celle du verre (2) ?
B) Supérieur à 99,99% de celle du verre (2) ?

Afin de répondre à ces questions, on modélise la situation en notant respectivement, pour tout entier naturel n, u(n) et v(n), les proportions de vin dans le verre (1) et (2), au bout de n étapes.
On a u(0)=0 et v(0)=1

1°a) Justifier que v(1)=1/2 et u(1)=1/4, puis calculer u(2) et v(2).

b) Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :

v(n+1) = [u(n)+v(n)]/2

c) En remarquant que la quantité de vin contenue dans l’ensemble des deux verres n’est pas modifiée à chaque étapes, démontrer que, pour tout entier naturel n :

v(n) = 1-2u(n)

d) En déduire les 10 premiers termes de chacune des suites u et v.

2°a) Démontrer que la suite u vérifie une relation de récurrence de la forme :

u(n+1) = f(u(n))

, où f est une fonction affine que ‘on précisera.

b) Représenter graphiquement les 1er termes de la suites u en utilisant la droite représentant la fonction affine f.

c) Quelle propriété de la fonctions f permet de justifier que, pour tout entier naturel :

u(n)<1/3

d) En déduire que, pour tout entier naturel n,

u(n) < v(n)

3° Soit w la suite définie sur N par w(n) = u(n+1) – u(n)

a)Démontrer que, pour tout entier naturel n,

w(n+1) = [w(n)]/4
En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de w(n) en fonction de n.

b) Déterminer le sens de variation des suites u et v.

4° Soit p la suite définie sur N par p (n) = [u(n)]/[v(n)]

a) Calculer les dix premiers termes de la suite p.
b) Quel est le sens de variation de la suite p.
c) Répondre a la question B.

j'aurais besion d'aide pour les questions 1), 2°a)et 2°c), et surtout, je voulais savoir si il était possible de m'expliquer la question 1°a)n car je ne l'ai comprise.
Merci d'avance.

Bonjour,

Sachant que $u_n$ et $v_n$ donnent les proportions de vin dans le verre (1) et (2), au bout de n étapes

$u_0$ donne la proportion de vin du verre (1) au départ

et $v_0$ donne la proportion de vin du verre (2) au départ

Tu essayes de comprendre et de continuer avec cela ...

je sais, mais je ne comprend pas, la question 1°, je ne sais pas comment la rediger. j'ai cherché les u(n) et v(n) jusqu'à n=3. mais je ne comprend pas la 1er question, j'ai compris le raisonement ( efin je pense...) mais je ne sais pas capable de l'expliquer, ni de le poser, et c'est gallere

As tu fait des dessins avec le contenu des 2 verres au départ.

Puis à la 1ère étape , après avoir rempli .....

oui, au brouillon, j'ai fais les dessin(en couleurs :p), j'ai même fais le étapes intermédiaires ( reprensentation du transfert (1) dans (2))

se que j'ai compris, c'est que:
volume (2) = (volume (1)) / 2
lorsque n=0, on a: (1)= 0% de vin avec Volume (1)= 20
(2)= 100% de vin avec volume (2)= 10

lorque "n=0.5", on a : (1)= 0% de vin avec Volume (1)= 10
(2)= 50% de vin+ 50% d'eau avec volume (2)= 20

lorsque n=1, on a : (1)= 50% d'eau+ 25% d'eau + 25% de vin => c'est evidant, mais je ne sais pas l'expliquer, et le mettre en équation.
=> proportion de vin= u(n)= 25%= 1/4

(2)= 50% d'eau+ 50% de vin
=> proportion de vin= v(n) = 50% = 1/2

je ne sais pas comment l'expliquer, et je ne sais pas si ça repond à l question, et plus, je suppos que tout ça et un bon gros fouillis...

Alors

départ
Verre 1 : 20cl d'eau et Verre 2 : 10 cl de vin ;
proportion de vin dans verre 1 : $U_0$ = 0
et
proportion de vin dans verre 2 : $V_0$ = 1

Première étape

10 cl d'eau passent dans verre (2) , donc verre (2) contient 10cl d'eau + 10 cl de vin , et verre (1) contient 10cl d'eau
On met 5cl d'eau et 5cl de vin dans le verre (1) ;
donc verre (1) contient 10cl de mélange (5cl eau et 5 cl vin) 10 cl d'eau
et verre (2) contient 5cl eau et 5 cl vin

Tu peux donc calculer la proportion de vin dans chaque verre, à la fin de la première étape.

donc, pour la proportion de vin, par exemple dans le 1er verre, on a:
u(1)= (volume de vin)/(volume total)= 5/20 = 1/4

Je peux dire ça sans justification, que u(1)= (volume de vin) / (volume total) ?

Et se tu as marqué dans le dernier message, je peux faire dans le même type de rédaction pour justifier ?

j'ai autre chose qui me pose souci, car après dans la question 1°a), il me demande de calculer u(2) et v(2).
ça veux dire que j'ai due déduire une équation dans l'autre partie de la question, ou que je dois a nouveau expliquer mon raisonnement ?
Car pour moi, cette fin de question veux dire que j'ai déjà une équation générale ( ou une conjecture d'équation), et je dois calculer les deux termes suivents.... tu vois se que je dire ? --' (je ne sais pas si c'est une passion chez moi de me compliquer la vie, mais par moment c'est tres lourd ...)

As tu bien déterminé la notion de proportion en vin de chaque verre ?

As tu bien déterminé le volume de chacun des verres à chaque étape ? Quel verre contient 20cl ? quel verre contient 10cl ?

Avant de passer aux proportions , commence par passer par les volumes de chaque verre, en essayant de trouver comment chaque volume est constitué.

Quand tu auras compris la composition ce chaque verre, tu en déduiras la proportion en vin de chaque verre.

aaah, oui... exacte. en effet, vue comme ça c'est plus simple.
Merci beaucoup pour ton aide.