suite, 1ers sens de variation

bonjour, dans un exercices de mon livre, on me demande de déterminer le sens de variations d'une suite, definie par:
(j'ai écrit ça, et je voulais savoir si c'étais posible de me dire si c'étais juste, ou faut. lors de votre lecture, vous pourrez constater qu'il n'y a des choses dont je ne suis pas sûr, j'aurais besion de vos lumières. )

u(n) = n x 3^-n
on a

u(0) = 0
u(1) = 0.33
u(2) = 0.22
u(3) = 0.11
u(4) = 0.04

on suppose que la suite est décroissante a partir du rang 1 ou 2 ?
( je ne sais pas à partir de quel rang une suite est croissante, ou décroissante( je connais mon cours, mais là, par exemple, je ne saurais pas vous dire a partir du quel elle est décroissante). si vous pouviez me donner une technique générale pour que j'arréte de e tromper. )
j'ai étudié la differance entre u(n) et u(n+1).
on a:

u(n+1) - u(n) = (n+1) x (3^(-n-1)) - n x 3^-n

Je voulais également savoir si, pout tout X dans R, on a: X^(-n-1) = (X^(-n)) / X. Dans ma reponce, je l'ai conjecturé car je ne sais pas si on doit le prouver avant de le dire, ou si on peut l'affirmer.

si c'est vrai, alors on a:

u(n+1) - u(n) = n x ((3^-n)/3) + ((3^-n)/3) - (n x (3^-n))
= (3^-n)((n+1-3n)/3)
= (3^-n)((-2n+1)/3)
on sait que 0< (3^-n) <1 (je sais pas non plus si je peux affirmer ça sans justifications.)
Ainsi, u(n) est décroissante ssi -2n + 1 < 0
<=> -2n > -1
<=> n > 1/2
n appartient à N donc n > 1.
Donc (u(n)) est décroissante à partir du rang 1 ??

Merci d'avance pour votre aide, car j'en ai vraiment besion ^^'

Bonsoir,

Il faut travailler en valeurs exactes

$U_0$ = 0
$U_1$ = 1/3
$U_2$ = 2/9
$U_3$ = 1/9
$U_4$ = 4/81

D’après le calcul des premiers termes, tu peux conjecturer que la suite $U_n$ ) est décroissante à partir du rang 1.

Ensuite il faut effectivement le démontrer

Pour n >= 1

$U_{n+1}$ – $U_n$ = (n+1) $3^{-(n+1)}$ – n $3^{-n}$

On utilise : $a^{-n}$ = $1/a^n$

$U_{n+1}$ – $U_n$ = (n+1) / $3^{n+1}$ – n / $3^n$

En mettant tout au même dénominateur . . . soit $3^{n+1}$

$U_{n+1}$ – $U_n$ = (n+1) / $3^{n+1}$ – 3n / $3^{n+1}$

Tu devrais obtenir :

Un+1 – Un = (1-2n) / $3^{n+1}$

Dont il faut étudier le signe en partant de l’hypothèse : n >= 1

n >= 1
. . .
1-2n . . .

De même,
n >= 1
. . .
n+1 . . .
et donc
$3^{n+1}$ . . .

Et finalement

$U_{n+1}$ – $U_n$ . . .

$U_n$ ) est . . . à partir du rang 1.

donc, se que j'ai fais est faux --' ....
Merci pour le coup de pouce

Ce que tu as fait me paraît correct. Méthode surprenante ... mais je ne vois pas d'erreur.

à part "n appartient à N donc n > 1."

Il suffit de citer que n≥1 puisque l'on étudie le comportement de la suite à partir de n=1.

bonne soirée

^^ super, pour être franc, j'ai refais mon exo avec votre technique, et c'est plus simple.
En tout cas, merci pour votre aide, car ça m'a éclairé sur pas mal de choses que je n'avais pas bien comprises
Merci et bonne journée