Déterminer une primitive d'une fonction rationnelle

Bonjour à tous, je demande de l'aide s'il vous plait pour un exercice:

On considère la fonction f définie sur [0; + $∞\infty$ [ par f(x)= 2x/(2x+1)³.

Vérifier que pour tout x≥0; f(x)=1/(2x+1)² - 1/(2x+1)³ .

2)En déduire une fonction G primitive de f sur [0; + $∞\infty$ [ .

3)Déterminer l'unique primitive F de f sur [0; + $∞\infty$ [ qui s'annule en 0.

Pour la question 1), je ne vois vraiment pas comment répondre .
La 2) je n'ai pas trouvé le résultat demandé .

S'il vous plait aidez moi!!

Bonjour,

Question 1) Tu réduis au même dénominateur;
Question 2) Indique tes calculs.

$\frac{{2x}}{{(2x + 1)^3 }} = \frac{1}{{(2x + 1)^2 }}[1 - \frac{1}{{(2x + 1)}}=f(x)]$

Bonjour;

$\frac{{2x}}{{(2x + 1)^3 }} = \frac{1}{{(2x + 1)^2 }}[1 - \frac{1}{{(2x + 1)}}]=(\frac{1}{{(2x + 1)^2 }})(\frac{2x+{1-1}}{(2x + 1)})=f(x)$

J'ai fait quelques chose pour 2) mais c'est faux!

Le calcul pour pour la 1) même avec l'aide de agnesi, je ne comprends pas le raisonnement!

salut
Cookie-mélo
On considère la fonction f définie sur [0; + $∞\infty$ [ par f(x) = 2x/(2x+1)³.

Vérifier que pour tout x≥0; f(x) = 1/(2x+1)² - 1/(2x+1)³ .

ça c'est facile : puisqu'on te donne l'expression à obtenir, tu peux partir de celle-la et mettre au même dénominateur + simplifier comme te l'a dit Noemi, tout ça pour retrouver au bout du compte l'expression 2x/(2x+1)³

Cookie
2) En déduire une fonction G primitive de f sur [0; +∞[ .

alors pour ça, il suffit que tu exploites ton tableau de primitives, où tu vas trouver celles de 1/t^2 etc. il faudra réfléchir au fait que les dénominateurs sont "composés" (2x+1) ici.

Pour le 1)
Dans la question on affirme que :

$f(x)=1(2x+1)2−1(2x+1)3f(x)=\frac{1}{(2x+1)^2}-\frac{1}{(2x+1)^3}$

au lieu de réduire au même dénominateur je fais une mise en facteur :

a) $1(2x+1)2−1(2x+1)3=1(2x+1)2[1−1(2x+1)]=\frac{1}{(2x+1)^2}-\frac{1}{(2x+1)^3}=\frac{1}{(2x+1)^2}[1-\frac{1}{(2x+1)}]=$

Si l’on développe on trouve bien

$1(2x+1)2×1−1(2x+1)2×1(2x+1)=1(2x+1)2−1(2x+1)3\frac{1}{(2x+1)^2}\times1-\frac{1}{(2x+1)^2}\times\frac{1}{(2x+1)}=\frac{1}{(2x+1)^2}-\frac{1}{(2x+1)^3}$

la mise en facteur simplifie les calculs :

a) $1(2x+1)2−1(2x+1)3=1(2x+1)2[1−1(2x+1)]\frac{1}{(2x+1)^2}-\frac{1}{(2x+1)^3}=\frac{1}{(2x+1)^2}[1-\frac{1}{(2x+1)}]$

$=1(2x+1)2[2x(2x+1)]=f(x)=\frac{1}{(2x+1)^2}[\frac{2x}{(2x+1)}]=f(x)$

Pour la 2), pense prendre la 1ère forme: 2x/(2x+1)³.

Je ne sais pas comment arriver à la forme u'u-³ vu que que sa primitive pourra me donner une fraction.

Pour le calcul de la primitive, tu prends la fonction donnée au 1).

D'accord mais peut on faire une somme de primitives, enfin ici c'est une différence! Parce que sinon je vois comment faire!

Oui tu peux faire une différence.

Primitive de 1/(2x+1)² = 1/2( 1/2x+1)

Mais comment je fais pour la primitive 1/(2x+1)³ ???

La primitive de 1/(2x+1)² = -1/2( 1/(2x+1))

Pour la primitive 1/(2x+1)³ tu appliques le même raisonnement.

Oui mais en suivant le même raisonnement je trouverais exactement la même chose , c'est à dire 1/(2x+1)² , car je ne vois pas comment avec le même raisonnement je peux trouver 1/(2x+1)³

C'est de la forme $1/u^n$

Primitive 1/(2x+1)³ = -1/2(2x+1)² ???

on a

$(1un),=−nun−1u,u2n=−nu,u2n−(n−1)=−nu,un+1\left( {\frac{1}{{u^n }}} \right)^, = - \frac{{nu^{n - 1} u^, }}{{u^{2n} }} = - \frac{{nu^, }}{{u^{2n - (n - 1)} }} = - \frac{{nu^, }}{{u^{n + 1} }}$

d'où$\Bigint{- \frac{{nu^, }}{{u^{n + 1} }}}=\Bigint{\frac{1}{(2x+1)^3}}$

puis en identifiant

$−nu,un+1=1(2x+1)3-\frac{nu^,}{u^{n+1}}=\frac{1}{(2x+1)^3}$

$n + 1 = 3$

$n = 2$

$nu^,=1$

$u^,=2$

$2u^,=4$

$\Bigint{\frac{1}{(2x+1)^3}}=\frac{1}{4}\frac{1}{(2x+1)^2}$

Attention au signe
une primitive de 1/(2x+1)³ est -1/4*(1/(2x+1)²)

Bonjour;

On peut écrire aussi :

$(kun),=(ku−n),=−nku−n−1u,=−1(2x+1)3=−(2x+1)−3\left( {\frac{k}{{u^n }}} \right)^, = \left( {ku^{ - n} } \right)^, = - nku^{ - n - 1} u^, = -\frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)^3 }} = -\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}$

${-n-1=-3\n=2$

${u=2x+1\u^,=2$

${-nu^,k=-1\-2\cdot2\cdot k=-1\4k=1\k=\frac{1}{4}$

Donc si je comprends bien tout ce que vous m'avait dit la primitive de 1/(2x+1)² - 1/(2x+1)³ = -1/2( 1/(2x+1)) + 1/4*(1/(2x+1)²) ???

Bonjour;

;3)

$[F(x)]ab=∫abf(x),dx=F(b)−F(a)\left[ F(x) \right]{a}^{b} = \int{a}^{b} f(x),dx = F(b) - F(a)$

à une constante près

d’où si $[F(x)]ab=∫abf(x),dx=F(b)−F(a)+C=0\left[ F(x) \right]{a}^{b} = \int{a}^{b} f(x),dx = F(b) - F(a)+C=0$

$C = F (a) - F (b)$

Je ne comprends pourquoi tu veux faire cela parce que je recherche une primitive de f et une intégrale?? Je sais faire le calcul d'intégrale mais on en a pas besoin dans cette exercice! Enfin je crois!

Bonjour,

As-tu fini l'exercice ?

Non as encore Parce que je n'arrive pas à faire la question 1) et la 2 Non plus!

Pour la question 1), tu as eu plusieurs solutions proposées.

Oui je sais que j'ai plusieurs propositions pour la 1), mais quand je refais sur ma feuille, je ne trouve pas la même chose, il manque une étape ou dans mon raisonnement il me manque une étape!

Indique tes calculs.

Non, désolé je me suis trompée Pour la 1), j'avais oubliée que dans les mises en facteurs il faut calculer à l'intérieur des crochets, Parce que moi à chaque fois je faisais comme un développement, C'est pour cela que je ne trouvais pas les mêmes résultats!
Pas contre pour la 2), j'ai trouvé comme primitive:

F(x)=1/2(2x+1) + 1/4(2x+1)² ??

Pour la 3), je pense calculer F(x)= 0!

Primitive : Attention au signe
G(x)=- 1/[2(2x+1)] + 1/[4(2x+1)²] + k

Oui calcule G(0) pour trouver la valeur de k

Oui tu as raison G(0), plutôt!!

Voila, j'ai calculé G(0)= -1/4
Puis j'ai calculé G(0)=-1/4 et j'ai trouvé k=0

Mais je ne suis pas sûre de ce que je fais!

Non,

Tu dois trouver une valeur de k telle que G(0) = 0.

Je ne comprends pas pourquoi je dois faire G(0)=0 , car dans l'énoncé il ne demande pas la primitive qui passe par l'origine, mais celle qui s'annule en 0.
Donc moi j'ai calculé G(0) sans k, Puis G(0)= -1/4 avec k et je trouve k=0!

La question est déterminer l'unique primitive qui s'annule en 0, soit G(0) = 0.

J'ai fait ce que vous avez dit et j'ai trouvée k=1/4, mais je trouve cela bizarre car on ne demande pas la primitive qui passe par l'origine G(0)=0, mais la primitive qui s'annule en 0 G(x)=0

C'est la compréhension de "qui s'annule en 0"
Si la phrase avait été : "qui s'annule en 1 " : G......

Noemi
C'est la compréhension de "qui s'annule en 0"
Si la phrase avait été : "qui s'annule en 1 " : G......

Je vous avoue que je ne comprends pas pourquoi c'est G(0)=0.
Je sais que je me répète encore mais pour moi "qui s'annule en 0" je calcule G(0). Une primitive qui passe par l'origine, je calcule G(0)=0. Je vous avoue que sur cette question j'ai un doute et je ne comprends pas votre raisonnement!

Et si on cherchait la primitive qui vaut 1 en 0 cela s'écrirait comment ?

Noemi
Et si on cherchait la primitive qui vaut 1 en 0 cela s'écrirait comment ?

On aurait fait G(0)=1!