Etude du domaine de définition, valeur minimale d'une fonction

Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre et je suis complétement larguée :S
Si quelqu'un pouvez m'aider ce serait sympa !

Exercice 1:

Sur un segment [AB] de longueur 8 cm, on place un point M différent de A et de B tel que AM=x.
On appelle f la fonction telle que:
f(x)= 1/AM + 1/BM

Quel est l'ensemble de définition de f ?
Démontrer géométriquement que f(4+h)=f(4-h) pour h élément de l'intervalle [0;4[
En déduire que la courbe représentative Cf de f admet un axe de symétrie que l'on déterminera.
Conjecturer la position du point M pour que f soit minimale.
Démontrer que, pour x compris entre 0 et 8:
f(x)-1/2 =(x-4)²/2x(8-x)
Conclure.
J'ai tenter de trouver l'ensemble de définition mais avec les lettres BM je n'y arrive pas j'ai trouver que x doit etre différent de 0 donc l'ensemble =R/x mais je ne réussis pas l'ensemble pour 1/BM !

Bonjour

M est un point du segment [AB] , tel que AM = x

et AB = 8cm , alors quelles sont les valeurs que peut prendre x (quelle est la plus petite valeur de x , quelle est la plus grande valeur de x ? .... un petit dessin pourra t'aider à répondre.

Je ne sais pas si je peux dire que AB=AM donc si je peux trouver 8 en valeur maximale ?

On déplace le point M sur le segment [AB]

AM = AB quand M est placé où ? Cela te permet en effet de trouver la valeur maximale de x

Et pour la valeur minimale , as tu une idée où M pourrais bien être placé ?

Merci beaucoup de m'aider!
M est au même endroit que B si il est égal à 8 donc c'est sa valeur maximale.
Pour la valeur minimale M pourrait etre égal à 0 s'il était placé sur le point A ?

Oui c'est bon ,

Alors la question suivante : que faut-il faire ?

4 représente quoi pour AB ?

4 est la moitié de AB donc son milieu .

Pardon , pour que f(x) existe , il faut que x ≠ 0 ET BM ≠ 0

Donc le domaine de défintion de f est ] .. ; ... [

Le domaine de définition est ]x;BM[ ?
En fait j'ai du mal à trouver le définition quand on commence à mettre des lettres à la place des chiffres...

Pour la 2 ) il faut faire 2 cas ... en fonction de I = milieu de [AB]

1° si M ∈ [AI] alors AM = x < 4 et BM = 4 - x

2° si M ∈ [IB] alors AM = x > 4 et BM = x - 4

tu essayes ...

J'ai encore répondu pendant que tu postais !

$D_f$ = ]0 ; 8[ et non ce que tu as écrit ... tu comprends pourquoi ?

Ok merci.
Par contre on me demande de le montrer géométriquement donc je dois faire tracer la droite [AB] ainsi que I son milieu ?

OUi je comprends !
C'est parce que 0 est la valeur minimale et que 8 est la valeur maximale non ?!

oui pour x ≠ 0 pour que $1am=1x\frac{1}{am}= \frac{1}{x}$ existe

et x ≠ 8 pour que BM ≠ 0 afin que $1bm\frac{1}{bm}$ existe

Par contre je ne vois pas comment je peux démontrer géométriquement que f(4-h)=f(4+h) !
Conjecturer veut il dire supposer sans démontrer ?

Alors si x < 4 ; tu as compris que BM = 4 - x ,

alors que vaut f(4-h) ? et que vaut f(4+h) ?

f(4-h) est il égal à f(4-x) donc à f(BM) ?
Pour f(4+h) il est égal à f(-(4-h)) donc f(-BM) ?

Bon reprenons calmement

Si x < 4 , alors AM = x et BM = x - 4 ; donc f(x) = 1/x + 1/(x-4)

en prenant h dans [0;4[ , alors 4-h < 4 , donc f(4 - h) .....

Si x > 4 , alors AM = x et BM = 4 -x ; donc f(x) = 1/x + 1/(4-x)

en prenant h dans [0;4[ , alors 4+h > 4 : donc f(4+h) = ....

Dans les 2 cas tu dois trouver le même résultal ! (pas si évident que cela cet exo !!)

Les deux sont égaux à x non ?

f(4+h) et f(4-h) serait égaux à x qui n'intervient pas ici ????

Tu me montres tes calculs !

Bah si x<4 et que l'on cherche 4-h<4 x n'est pas solution ?

f(4-h) est forcément supérieur ou égale à 0 mais je n'arrive pas à trouver la solution !

.... ???? .... cela ne veut rien dire ....

Si x < 4 , alors AM = x et BM = x - 4 ; donc f(x) = 1/x + 1/(x-4)

et si x > 4 , alors AM = x et BM = 4 -x ; donc f(x) = 1/x + 1/(4-x)

en prenant h dans [0;4[ , alors 4-h < 4 ,

donc f(4-h) = 1/(4-h) + 1/(4-h-4) = 1/h + 1/f(4-h)

et 4+h > 4 donc on applique f(x) = 1/x + 1/(4-x)

donc f(4+h) = 1/(4+h) + 1/h

donc f(4+h) = f(4-h)

Comprends tu ?

J'ai compris que tu remplacais à chaque fois x par 4-h ou bien 4 +h dans le second menmbre et j'ai compris tous les calculs par contre je ne comprends pas de quelle manière on arrive à la conclusion que f(4+h) =f(4-h) ?
Merci encore pour toutes tes explications.

En effet , pardon , erreurs de signe un peu partout ... et j'ai compliqué tout pour rien ....

Si AM = x , alors BM = 8 - x

Donc f(x) = 1/x + 1/(8-x)

Donc f(4+h) = 1/(4+h) + 1/(8-(4+h)) = 1/(4+h) + 1/(4-h)

et f(4-h) = 1/(4-h) + 1(8-(4-h)) = 1/(4-h) + 1/(4+h)

et là y pas d'erreurs en principe !

Ah d'accord là c'est plus imple tout d'un coup
Je comprends mieux!
Par contre comment puis je déduire que la courbe admet un axe de symétrie ?

Alors on sait que la courbe représentant une fonction f admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = a , si pour tout h > 0 on a f(a+h) = f(a-h)

pour réviser ces notions : regarder http://homeomat...t/index3.htm

chapitre : Fonctions
Courbe représentative d'une fonction
Axe et centre de symétrie

Merci pour le lien je pense qu'il me sera meme utile pour d'autres devoirs...
Pourrais tu s'il te plait me donner la définition de conjecturer?

Conjecturer = avoir l'impression que ...

Ici, il faut que tu dises qu'il te semble que f(x) est minimal quand x = ... , donc quand M est placé en ....

Quand x=0 donc quand M est placé en A ?!
Dois je développer pour la question 4?

Bin non ...

Trace sur ta calculatrice la fonction f définie par f(x) = 1/x + 1/(8-x)

et regarde quand 0 < x < 8 quand pourrait être atteint le minimum de f

J'obtiens deux courbes comme pour la fonction inverse et aucune ne passe par 0

Mais le minimum d'une fonction n'est pas forcément atteint pour 0

Exemple la fonction f définie par f(x) = (x-1)² + 3 admet un minimum 3 pour x = 1

Mais comment je peux faire alors pour calculer le minimum de ma fonction ?

Pour le moment, on ne te demande pas de le calculer , on te demande de regarder sur ta calculatrice la représentation , pour 0 < x < 8 , de la fonction f ...

Ma courbe descend juska -4 mais ce n'est pas hyper précis..

Quelle fenêtre as tu prise ?

Comment as tu rentré f(x) ? Tu as bien mis les () là où il faut ?

Parce que le -4 ... je ne vois pas trop d'où il vient !!

J'ai d'abord appuyer sur y=, puis g rentrer y1=1/x+1/(8-x)
Puis apres g appuyer sur graph

Et dans Windows ... il faut mettre $X_{min}$ = 0

$X_{max}$ = 8

et ta représentation graphique sera celle de la fonction étudiée , ici , entre 0 et 8

Ok !
Je viens de le faire et j'obtiens un minimum de 1 environ