Etude complète d'une fonction exponentielle

Bonjour, voilà j'ai un devoir maison à rendre pour vendredi. Mais je n'arrive pas.

Enoncé: Etant donné un réel k non nul, on considère la fonction f(k): x -> x+k(x+1)exp(-x), de R->R. On désigne par C(k) la courbe représentative de f(k); dans un repère orthonormal(O;i;j).

[Précision: Ce qui est appelé f(k) est enfaite: f (x) ]
k

Calculer la dérivée premières et secondes de f.
Etudier les variations de la dérivée première f'.
Déterminer selon les valeurs de k, le nombre de solutions de l'équation, d'inconnue x, f'(x)=0 ( on pourra distinguer plusieurs cas).
Déduire de ce qui précède le sens de variation de f suivant les valeurs k.
Etudier les limites de f en +infini et en -infini et donner s'il y a lieu une interprétation graphique des résultats.
Montrer qu'il existe un unique point A commun à toutes les courbes C(k).
Soit I(k) le point de C(k) dont l'abscisse est 1. Former une équation de tangente D(k) en I(k) à C(k).
Montrer que les droites D(k) on un point commun B.

Réponses:

J'ai réussi la 1/.
La 2/ j'ai fais quelque chose mais pour étudier les variations, je regarde le signe de la dérivée seconde mais il y a encore k. Donc je fais plusieurs cas et j'utilise le TVI mais je ne suis pas sûr. Et ensuite je suis bloqué.

Pour une meilleure compréhension du sujet, l'énoncé a été posté à cette adresse : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-314899.html

J'ai regardé les réponses mais je ne trouve pas cela très indicatif parce que je l'avais déja fait de moi-même. Donc Svp.

Bonjour,

Pour la 2/, il faut bien discuter des variations selon les valeurs de k. Peux-tu nous indiquer le tableau de variation que tu obtiens. Le TVI ne s'applique pas ici. Pour determiner les vaitations de la dérivée première de f il faut pour cela dériver la dérivée et ainsi obtenir le signe de la dérivée seconde pour établir les variations de la dérivée première. c'est un peu comme les poupées russes.

Pour la 3, pourquoi ne pas utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. Je t'invite à consulter la fiche de cours sur ce sujet avec une application directe à http://www.stud...atiques.html

Pour la 4, une fois que tu as pu établir le signe de la dérivée première, tu peux étbalir les variations de f.

Commence déjà par faire cela et dis moi si tu as des soucis.

Pour la 2/ c'est ce que j'ai fait et je trouve 2 tableaux de variations.

Pour le cas k>0, je trouve que sur ]-infini,1[, elle est décroissante et sur l'autre intervalle, elle est croissante.

Pour le cas k<0, c'est l'inverse.

Excuse moi j'ai parlé du TVI trop tôt. C'est pour la 3/ que je l'utilise mais j'ai un problème. Vois-tu pour utiliser le TVI il faut qu'il y est changement de signe.

Prenons le cas k>0. sur l'intervalle ]-infini,1[, la fonction est strictement décroissante. De plus, elle réalise une bijection de ]-infini,1[ sur ]+infini, f'(1)[ (résultat trouvé en faisant les limites). Cependant f'(1)= 1 - k/e, donc pour utiliser le TVI, il faudrait que f'(1)<0.

J'ai réaliser tous les calculs et tout mais je trouve cela vraiment trop compliquer. Parce que il faut le faire ensuite sur les autres intervalles. Je trouve qu'il y a trop de calcul et trop de conditions donc je ne sais pas si c'est juste.

Je pense que ton tableau de variations pour la dérivée seconde est correcte.

Pour le nombre de cas a discuter, il n'y en a pas tant que cela.
1 er cas, k > 0 qui nous donne deux sous cas k >e ou k < e
2 eme cas, k > 0 et pas besoin de discuter selon e puisqu'on a automaitquement k < e.

Ce qui te fait globalement 3 cas de k a discuter et ensuite selon les valeurs de x bien sur. Un peu de courage et d'origanisation et tu devrais rapidement en venir à bout.

Une dernière précision, si 0 n'appartient pas à l'intervalle image alors l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution tout simplement.

bon courage

Ton 2eme cas c'est pas plutôt k<0 ?

Oui mais si k=e ? Je fais comment ? Par si k=e, je trouve f'(1)=0.

Tu pourrais m'aider aussi pour la question 5. Parce que je sais que limite en +infini c'est: + infini. Et en -infini c'est: -infini*signe de k. Mais je ne sais pas le justifier et même en sachant les limites je n'arrive pas la suite du problème :s. Stp.

Oui tu as raison pour mon deuxieme cas...
Il faut introduire dans un de tes sous cas, l'appartenance de e avec un inférieur ou égal (ou supérieur ou égal).

Pour la limite en + ∞, tu as :
lim x = + ∞ et lim $k(x+1)e^{-x}$ = 0 (th. croissances comparées)
x→∞ x→ +∞

Donc lim $f_k$ (x) = +∞
x → + ∞

en - ∞, c'est plus compliqué car tu arrives sur une forme indeterminée. Comment pourrait on lever l'indetermination selon toi ?

Oui mais si j'inclus e dans un des 2 cas, cela veut dire qu'il n'y aura plus 2 solutions mais que une seule. Donc c'est pour ça que je bloque. Si j'exclus k=e, j'obtiens 4 solutions pour f'(x)=0 grâce aux 2 tableaux mais si je l'inclus tout est différent :s . Comment faire ?

Beh j'ai essayé de factoriser par e^(-x) mais je m'en sort pas :s.

Essaye de factoriser par x plutôt...

Tu es obligé de considérer le cas où k = e. Tu peux le traiter a part si cela te convient davantage. Mais il ne faut pas simplement le faire disparaitre

d'accord je vais faire les calculs avec le cas là.

En factorisant par x j'obtiens:

x( 1 + (k + k/x)e^(-x))

Oui, maintenant determine la limite de chaque élément... et tu tomberas sur la réponse que tu as avancé précedemment.

D'accord merci :). Mais pour la suite je ne vois pas l'interprétation graphique (asymptote ?). Et la suite, je ne vois pas parce qu'il parle "les courbes" donc pourrais tu m'éclairer stp.

Pour ce qui est des interprétations graphiques des limites :

Les limites montrent parfois l'existence d'asymptote verticale ou horizontale.

Pour qu'il y une limite verticale, il faut que :
lim f(x) = k où k est un réel quelconque
x→±∞

Pour qu'il y une limite horizontale, il faut que :
lim f(x) = ±∞ où k est un réel quelconque
x→k

En terminale, on ne te demandera pas de spontanément démontrer l'existence d'une asymptote oblique.

Oui mais comme je suis pas dans ces 2 cas j'en conclus quoi ?

Et pour la suite, je dois faire comment ?

Citation
donner s'il y a lieu une interprétation graphique des résultats.
.

Tu ne peux rien conclure comme résultat avec les limites trouvées si ce n'est la non-existence d'symptote horizontale et verticale.

Nous en sommes donc à cette question :
Citation
6. Montrer qu'il existe un unique point A commun à toutes les courbes C(k).

Qu'en penses tu ? Comment vas tu procéder ?

Je veux bien t'aider à faire ton DM mais je ne tiens pas à le faire a ta place

Non mais je le conçois comme ça t'inquiete pas c'est juste que je ne comprends pas pourquoi il parle de courbe au pluriel. Il parle aussi des courbes de la dérivée et de la dérivée seconde ?

Non. Ta fonction est en fait une famille ed fonctions qui diffère selon les valeurs de k.
Lorsque par exemple k = 1 tu as une courbe C(1), et pour k = 2 une courbe C(2), ... Tu as donc une infinité de courbes.

Ces courbes diffèrent comme je te l'ai dit selon la valeur de k. A ton avis, quand est ce que les courbes vont se croiser ? Si ces courbes se croisent, c'est qu'en ce point A, la valeur de k importe peu. Pour quelle valeur de x, k n'est il plus intéressant ?

-1 ?

A toi de jouer maintenant pour rédiger cela proprement. N'oublie pas qu'on te demande de montrer l'existence d'un unique point.
Tu as la bonne abscisse en tout cas

Je peut trouver le point mais l'unicité est réalisable comment ?

Pour le montrer proprement, utilise k et k' deux réels non nuls et cherche à résoudre pour x réel l'équation $f_k$ (x) = $f_{k'}$ (x). tu vas retomber sur ton résultat et ca sera plus propre. N'oublie pas d'utiliser des connecteurs logiques comme "⇔" ou "si et seulement si" entre tes lignes d'équation.

Ok d'accord bon je vais faire cela mais avant que tu partes (parce que tu vas pas passer ta vie là), j'aimerais que tu m'éclaires sur le reste comme ça après je fais tout seul.

Pour la tangente, tu dois utliser la formule que tu as vu en cours :
y = f'(a)(x -a) + f(a)
Pour cette question, refais comme tu as fait pour la question 6.

Je reste dans le coin pas seulement pour toi rassure toi

Bon je fais tout ça et je post

Je trouve comme équation de la tangente:

y = e^(-1)k(3-x) + x

Mince je ne dois pas la factoriser comme cela. Il faut que je factorise par rapport a x c'est mieux vu que c'est une équation de droite

Donc je trouve y = (1-ke^(-1))x + 3ke^(-1) . C'est ça ?

Je n'arrive pas la dernière =s et petit retour en arrière, la 4 non plus =s.

Pour la 6, j'ai fais comme ça c'est bon:

$f_k$ (x) = $f_{k'}$ (x)
⇔ x+k(x+1)e^(-x) = x+k'(x+1)e^(-x)
⇔ k(x+1) = k'(x+1)
⇔ k = k'

?

Grace a cela tu montré l unicité de la solution. tu dois désormais la trouver. Je te pose la même question que précédemment donc...

Pour quelle valeur de k, $f_k$ (x) ne dépend pas de k ?

Pour la tangeante je n'ai pas vérifié...

Pour les variations de f, as tu déterminer le signe de f' selon les valeurs de k et de x ?

Pour quelle valeur de x, $f_k$ (x) ne dépend pas de k ?
Beh x=-1 donc après j'ai trouvé le point .

Oui j'ai déterminé mais ça me fait plusieurs cas pour les variations de f, vu qu'il y a déja plusieurs cas pour f' ? C'est juste ça que je veux savoir .

Et la toute derniere, faut faire comment ?

Citation
y = e^(-1)k(3-x) + x
Tu as proposé cette equation de droite. Quand est ce que cette equation ene dépend pas de k ?

Pour les variations de f ou tu dois avoir plusieurs cas selon les valeurs de k et les valeurs de x. Essaie de les regrouper si tu peux...

Tu es sur la fin... Un peu de courage

x=3 ? mais je dois faire pareil que mon post précédent ?

oui tout à fait

Oua tout bien merci beaucoup =D C'est fini alor ?

Oui bon boulot