exercice concernant les PPCM et PGCD

[courgette]

Bonjour, je suis élève en spé maths et nous avons un devoir à réaliser. Il n'est pas obligatoire mais je n'y comprends pas grand-chose et j'aimerais que certains points obscurs soient éclaircis car nous avons un devoir sur table lundi.
Voici le sujet:
A.Dans cette partie, on étudie le cas où a et b sont premiers entre eux.
1)a)On considère la suite des multiples de a : a,2a, 3a,...(b-1)a et on divise chacun par b.
a) Prouvez qu'aucun des restes n'est nul et que les (b-1)restes sont tous distincts.
b)Prouvez qu'un seul de ces restes est égale à 1.
c)Déduisez-en qu'il existe un seul entier naturel x avec 0<x<b tel que ax-1=by
d)Déduisez-en que 0<y
Merci d'avance !

[mathtous]

Bonjour,
a et b sont-ils supposés supérieurs à 1 ?
Si b = 1, la suite n'existe pas.
Si a = 1, le résultat est évident.

[Joie-de-vivre]

Bonjour courgette

1. On prend un entier n tel que n appartient à {1, ..., b-1} , et il faut montrer que b ne divise pas na.

Pour cela , je te propose de raisonner par l'absurde : on suppose que b divise na, comme b et a sont premier entre eux, d'après le théorème de Gauss, on a b divise n ce qui est faux car n appartient à {1, ..., b-1} .

conclusion : b ne divise pas na, donc les restes de division de a, 2a, 3a, ..., (b-1)a sont non nuls.

Pour montrer que les restes sont tous distincts, on prend deux entiers n et k, 0<n<k<b et on montrera que les restes de divisions de na et ka
par b sont différentes.

On pourra aussi raisonner par l'absurde si tu veux essayer....
On suppose que na et ka ont le même reste de division par b, ......

Bon courage, a+