Mesures d'angles et formes algébrique et trigonométrique de nombres complexes

Bonjour,

Je suis nouvelle et je trouve ce forum très intéressant, je voulais d'abord vous dire merci de nous fournir votre aide.

Je travaille depuis quelques jours sur un exercice de maths mais là j'ai du mal je voudrais que vous m'aidiez à commencer

Le sujet est donc:

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, OU, OV), on considère les points Mn d'affixes Zn=(1+i√3) (-i/2)^n où n est un entier naturel.

1. Exprimer Z(n+1) en fonction de Zn puis Zn en fonction de Z0 et n

2. Donner Z0, Z1, Z2, Z3 et Z4 sons forme algébrique et sous forme trigonométrique.

3. Placer les points M0, M1, M2, M3 et M4 (unité graphique 4cm)

4. Déterminer la distance OMn en fonction de n.

5.a. Montrer que l'on a MnM(n+1)=racine5/2^n pour tout entier naturel n.

b. On pose Ln=M0M1+...MnM(n+1)
Déterminer Ln en fonction de l'entier n puis Calculer lim (n->+) Ln

6. Déterminer une mesure de l'angle (OM0, OMn) en fonction de n
Pour quelles valeurs de n, les points O, M0 et Mn sont-ils alignés?

J'ai réussi a faire les 3 premières questions mais arrivée à la 4 je n'y arrive pas, je ne sais pas trop comment débuter...

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Par définitions on a :

$OM_n$ = | $z_n$ |

et $M$ n $M</em>{n+1}$ = | $z_{n+1}$ - $z_n$ |

Merci, mais en ce qui concerne le module de Zn il faut prendre l'expression du début et faire racine de x²y² c'est ça?

Que trouves pour $z_n$ à la première question ?

$z_n$ = $z0*(-i/2)^n$ c'est ça?

Oui cela semble correct. Et si tu appliques les formules du cours :

|zz'| = |z| * |z'| et | $z^n$ | = |z| $^n$

que trouves tu pour | $z_n$ | ?

pour |zn| je trouve $3/2)^n$

Bonsoir,

Non.

Tu as trouvé : $z_n$ = $z_0$ × $i/2)^n$

donc

| $z_n$ | = | $z_0$ × $i/2)^n$ | = | $z_0$ | × | $i/2)^n$ | = | $z_0$ | × |(-i/2)| $^n$ = ...

Continue

Qu'as tu trouvé pour | $z_0$ | ? Quel est le module de (-i/2) ?

Citation
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, OU, OV), on considère les points Mn d'affixes Zn=(1+i√3) (
-i/2)^n où n est un entier naturel.

Tu es sûre qu'il y a un "-" devant i/2 ?

Bonsoir, alors pour $z_0$ j'ai trouvé 1+i√3.

Et pour le module de (-i/2) j'ai trouvé 1/2.

oui oui il y a bien un '-' devant.

Oui,

Tu peux donc calculer | $z_0$ | puis | $z_n$ | en suivant ce schéma :

| $z_n$ | = | $z_0$ × $i/2)^n$ | = | $z_0$ | × | $i/2)^n$ | = | $z_0$ | × |(-i/2)| $^n$ = ...

merci bcp

Tu as trouvé | $z_n$ | ?

Tu obtiens quoi ?

pour | $z_n$ | j'ai trouvé 2(1/2)n

Très bien !

Et $OM_n$ = | $z_n$ |

Poursuis avec l'indication de Zorro pour la question 5a) :

et $M$ n $M</em>{n+1}$ = | $z_{n+1}$ - $z_n$ | en utilisant l'expression de $z_{n+1}$ en fonction de $z_n$

d'accord merci