spé math, exo sur une suite récurrente définie par une homographie.

Bonjour à tous , j'aurais besoin d'un petit peu d'aide svp

La fonction f définie sur [0;1] par

$\frac{x+1}{2x+1}$

1. Étudier les variations fr f sur [0;1] .

Je trouve f(0)=1 et f(1)= $23\frac{2}{3}$
donc sur [0;1] f est décroissante .

**2.**Montrer que pour tout x de [0;1] , on a 2/3 < f(x) < 1

3. Démontrer par le calcul que la courbe Cf et la droite (D) d'équation y=x ont un unique point d'intersection L et préciser ses coordonnées .

4. On définit alors la suite (Un) par U0=0 et Un+1=f(Un) pour tout entier naturel n .

a. Calculer U1 , U2 , U3

b. Montrer que (Un) est une suite bornée à l'aide d'un raisonnement par récurrence .

Si vous pouviez m'aider ce serait super simpa !! Merci !!

Bonsoir,

Un peu rapide la justification de décroissante. Et le calcul de la dérivée ?

Pour la dérivée je trouve -1/(2x+1)² mais je ne sais pas si elle est juste

Le calcul de la dérivée est juste.

super mais enfaite la dérivée je la met dans la question 1 ??
Et pour la 2 y faut remplacer f(x) par son expression ?

La dérivée c'est pour la question 1. il faut étudier son signe.
La question 2 correspond à la lecture du tableau de variation.

mais comment je peux étudier le signe ? En disant que (2x+1)² > 0 et -1 < 0 ?
Et le tableau de variations je le fais comment ?

Oui pour l'étude des signes, conclus sur le signe de la dérivée, tu en déduis le tableau de variation.

Donc je fais un tableau où je place :
x 0 2/3 1

f'(x) - -

f(x) décroisante

c'est juste ?

Et pour la question 3, y=x je vois pas du tout comment faire ...

Pour le tableau de variation
la première ligne est x 0 1

Question 3, résoudre l'équation f(x) = x.

D'accord , je trouve 2x² + 2x +1 / 2x + 1 = 0
Et aprés je fais un delta ?

Vérifie ton calcul.

j'ai vérifié je trouve -2x²+1 / 2x+1 = 0
C'est juste et si je dois faire un delta je trouve 8

Oui mais ce n'est pas obligatoire de résoudre cette équation en utilisant la méthode du discriminant.

Oui je sais mais je préfére cette méthode .. je trouve x1 = -4/6 et x2 = 4/6 et donc le point d'intersection c'est quoi ?

Refais tes calculs : √8 = √(2×4) = 2√2

donc x1 = 2√2/-6 et x2 = 2√2/6
Et je vois pas quelles sont les coordonnées

Refais tes calculs , comment trouves-tu 6 ?
Tu trouves $x_1$ puis tu calcules $f(x_1$ )

ah mince c'est pas 6 mais 4 ..
f(x1) c'est à dire que je remplace les x par la valeur de x1 ?

Oui tu remplaces les x par la valeur de $x_1$ .

donc je trouve √2+4/2√2+1 , c'est juste ?
et les coordonnées seront donc L( 2√2/4 ; √2+4/2√2+1 )

Simplifie 2√2/4 puis refais ton calcul pour $f(x_1$ ).

Oui mais le résultat que je trouve ne change rien , il est juste simplifié ...

Indique ton calcul pour qu'éventuellement on puisse voir ton erreur.

f(x)=x

x+1/2x+1=0

x+1-2x²-x/2x+1=0

-2x²+1/2x+1=0

delta=8

x1=-√2/2 et x2=√2/2

Bonjour,

Je trouve ça aussi.

Je n'ai pas vérifié ton équation car j'ai évité le discriminant :

f(x) = x ⇔

(x+1) / (2x+1) = x ⇔

(x+1) = x(2x+1) ⇔ (en faisant le produit en croix)

x+1 = 2x²+x ⇔

2x² - 1 = 0 ⇔

x² = 1/2

...

N'oublie pas l'ensemble de définition de f, soit [0;1] !

oui x²=1/2 mais comment on fait pour trouver x ? et les coordonnées ? je vois pas ...

Ahh si donc L( √2/2 ; √(1/2) ) ?

Par ex, si on résous :

x² = 4

les solutions sont -√4 et +√4, soit -2 et +2

tu es d'accord que (-2)² = 4 et 2² = 4 aussi

Dans ton exo, on fait la même chose :

x² = 1/2

| x = √(1/2)
| ou
| x = -√(1/2)

soit

| x = 1/√2
| ou
| x = -1/√2

en multipliant en haut et en bas par 2 :

| x = √2/2
| ou
| x = -√2/2

D'après Df, peux-tu retenir les deux solutions ?

Oui , c''est bien les résultats que j'ai trouvé avec delta .
Mais je vois toujours pas quelles sont les coordonnées de L ...

non je prends la solution supérieure à 0

Oui, très bien, tu rejettes la solution négative qui n'appartient pas à Df.

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3. Démontrer par le calcul que la courbe Cf et la droite (D) d'équation y=x ont un unique point d'intersection L et préciser ses coordonnées.

il y a donc bien une solution unique x = √2/2

Le point L a pour abscisse √2/2. Comment vas-tu trouver son ordonnée sachant qu'il est sur la courbe Cf et sur la droite d ?

remplacer les x par √2/2 ?

Je vais devoir quitter, alors pour te permettre d'avancer d'ici que quelqu'un t'apporte son aide, voici le cheminement à suivre :

Tu sais que L a pour abscisse √2/2 : L(√2/2 ; $y_L$ )

On pourrait utiliser le fait que L∈Cf pour trouver $y_L$ , on calculerait $y_L$ = f(√2/2). Mais il y a plus simple.

L∈d et d est la droite d'équation y=x, donc sans aucun calcul, $y_L$ = ...

Citation

4. On définit alors la suite (Un) par U0=0 et Un+1=f(Un) pour tout entier naturel n.

a. Calculer U1 , U2 , U3
Pour U1 U2, utilise tes résultats question 1)

Citation

b. Montrer que (Un) est une suite bornée à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
Utilise la question 2)