devoir specialité maths : PGCD

bonjour je suis en terminale S specialité maths et j'ai un devoir le le pgcd et ppcm j'aimerai de l'aide

soit a et b deux entier non nuls tels que PGCD(a+b,ab)=p
ou p est un nombre premier

1a)demontrer que p divise a^2
(on remarquera que a^2=a(a+b)-ab)
b)en deduire que p divise a
on constate donc que p divise b
c)demontrer que PGCD(a,b)=p

2on designe par aet b des entiers naturels tels que a≤b
a)resoudre le systeme
PGCD(a,b)=5
PPCM(a,b)=170

b) en deduire les solutions du systeme
PGCD(a+b,ab)=5
PPCM(a,b)=170

pour la question 1a) j'ai fait p=PGCD(a+b,ab)
p/a+b p/ab
p/a(a+b)-ab
or a^2=a(a+b)-ab donc p/a^2

je coince a partir de la b)
merci de m'aider

Bonjour,
Pour la question 1)b) tu peux utiliser Gauss et raisonner par l'absurde :
Si p
ne divise pas a, alors p qui est premier est premier avec a.
Continue.

il yaurait pas une autre methode parce qu'on n'a pas encore fait Gauss

Et Bézout ?

Bezout on a vu mais je vois pas comment l'appliquer

Par l'absurde :
Si p
ne divise pasa , alors p et a sont premiers entre eux ( car p est premier)
Donc il existe ...

au+pv=1
donc PGCD(a,p)=1 apres je sais plus

mais on ne peut pas se servir du fait que p/a²
et donc divise toute combinaison de a c'est a dire
p/a²*(1/a)
ce qui nous emmene a p/a ????

Attend : c'est confus.
1)
Citation
donc PGCD(a,p)=1Là, tu reviens à l'hypothèse : " si p ne divise pas a", il est premier avec a.
2) 1/a n'est pas entier !!

Mais : on sait que p|a² : on va s'en servir :
au + pv = 1
multiplie tout par a : qu'obtiens-tu ?

a²u+apv=a

P divise a² et il divise aussi apv, donc ..

a²u+apv=a
p/a² at p/apv
donc p/a²u+apv
donc p/a

pour b je fais la meme chose ?
pour la c) j'hesite parce qu'on sait que p/a et p/b
j'aurais tendance a dire que PGCD(a,b)=p
mais je doute car p peut divise a et b sans etre le PGCD?

Tu as bien compris le raisonnement ?

SI p ne divise pas a , alors ... p divise a .
Donc contradiction
Donc l'hypothèse initiale est fausse : donc p divise a ( est vrai ).

Pour la b)
Tu dois montrer que p | b : facile : pas besoin de raisonnement par l'absurde : p|a et p|a+b , donc ...

Pour la c) : En effet, p divise a et b ne prouve pas que c'est leur PGCD.
Mais il faut utiliser les données initiales : que p est le PGCD de a+b et ab.

Si d est un diviseur commun de a et b , alors il divise ...

Je dois maintenant me déconnecter.
Si tu as besoin, appelle quelqu'un d'autre.
Sinon A+.
Bon courage.

merci de ton aide