devoir specialité maths : PGCD


  • M

    bonjour je suis en terminale S specialité maths et j'ai un devoir le le pgcd et ppcm j'aimerai de l'aide

    soit a et b deux entier non nuls tels que PGCD(a+b,ab)=p
    ou p est un nombre premier

    1a)demontrer que p divise a^2
    (on remarquera que a^2=a(a+b)-ab)
    b)en deduire que p divise a
    on constate donc que p divise b
    c)demontrer que PGCD(a,b)=p

    2on designe par aet b des entiers naturels tels que a≤b
    a)resoudre le systeme
    PGCD(a,b)=5
    PPCM(a,b)=170

    b) en deduire les solutions du systeme
    PGCD(a+b,ab)=5
    PPCM(a,b)=170

    pour la question 1a) j'ai fait p=PGCD(a+b,ab)
    p/a+b p/ab
    p/a(a+b)-ab
    or a^2=a(a+b)-ab donc p/a^2

    je coince a partir de la b)
    merci de m'aider


  • M

    Bonjour,
    Pour la question 1)b) tu peux utiliser Gauss et raisonner par l'absurde :
    Si p
    ne divise pas a, alors p qui est premier est premier avec a.
    Continue.


  • M

    il yaurait pas une autre methode parce qu'on n'a pas encore fait Gauss


  • M

    Et Bézout ?


  • M

    Bezout on a vu mais je vois pas comment l'appliquer


  • M

    Par l'absurde :
    Si p
    ne divise pasa , alors p et a sont premiers entre eux ( car p est premier)
    Donc il existe ...


  • M

    au+pv=1
    donc PGCD(a,p)=1 apres je sais plus

    mais on ne peut pas se servir du fait que p/a²
    et donc divise toute combinaison de a c'est a dire
    p/a²*(1/a)
    ce qui nous emmene a p/a ????


  • M

    Attend : c'est confus.
    1)
    Citation
    donc PGCD(a,p)=1Là, tu reviens à l'hypothèse : " si p ne divise pas a", il est premier avec a.
    2) 1/a n'est pas entier !!

    Mais : on sait que p|a² : on va s'en servir :
    au + pv = 1
    multiplie tout par a : qu'obtiens-tu ?


  • M

    a²u+apv=a


  • M

    P divise a² et il divise aussi apv, donc ..


  • M

    a²u+apv=a
    p/a² at p/apv
    donc p/a²u+apv
    donc p/a

    pour b je fais la meme chose ?
    pour la c) j'hesite parce qu'on sait que p/a et p/b
    j'aurais tendance a dire que PGCD(a,b)=p
    mais je doute car p peut divise a et b sans etre le PGCD?


  • M

    Tu as bien compris le raisonnement ?

    SI p ne divise pas a , alors ... p divise a .
    Donc contradiction
    Donc l'hypothèse initiale est fausse : donc p divise a ( est vrai ).

    Pour la b)
    Tu dois montrer que p | b : facile : pas besoin de raisonnement par l'absurde : p|a et p|a+b , donc ...

    Pour la c) : En effet, p divise a et b ne prouve pas que c'est leur PGCD.
    Mais il faut utiliser les données initiales : que p est le PGCD de a+b et ab.

    Si d est un diviseur commun de a et b , alors il divise ...

    Je dois maintenant me déconnecter.
    Si tu as besoin, appelle quelqu'un d'autre.
    Sinon A+.
    Bon courage.


  • M

    merci de ton aide 😄


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