anneau integre
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Zzz6918 dernière édition par
bonjour,
je vous expose mon exercice, j'ai réussi à le faire sauf la dernière question.Pour chacune des trois affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse (démonstration ou contre exemple).
Soit A un anneau intègre et soit a,b appartenant à A
1)si a² = a, alors a ∈ {0,1}
2)si a^6 = b^6 et a^4 = b^4, alors a = b
3)si a^3 = b^3 et a^5 = b^5, alors a = b- j' ai dit que a² = a ⇔ a² - a = 0 ⇔ a(a - 1) = 0
comme A est intègre a=0 ou a=1 donc a ∈ {0,1}
2)contre exemple a = 1 , b = -1
3)???
merci
- j' ai dit que a² = a ⇔ a² - a = 0 ⇔ a(a - 1) = 0
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Bonsoir,
Factorise aaa^n−bn-b^n−bn
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Zzz6918 dernière édition par
ana^nan − bnb^nbn = (a − b)(an−1b)(a^{n−1}b)(an−1 + an−2a^{n−2}an−2b + · · · + bn−1b^{n−1}bn−1)
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Oui donc pour n = 3 et n = 5.
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Zzz6918 dernière édition par
pour n=3
aaa^3−b3-b^3−b3=(a-b)(a²+ab+b²)pour n=5
aaa^5−b-b−b^5=(a−b)(a4+a3=(a-b)(a4+a^3=(a−b)(a4+a3b+a²b²+ab+ab+ab^3+b4+b^4+b4)
donc on obtient
(a-b)(a²+ab+b²) = (a−b)(a(a-b)(a(a−b)(a^4+a3+a^3+a3b+a²b²+ab+ab+ab^3+b4+b^4+b4)=0
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Quelles relation peut-on écrire entre a et b ?
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Zzz6918 dernière édition par
je vois que a=b vérifie l' équation
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Vérifie l'unicité de cette solution.
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Zzz6918 dernière édition par
comme l' anneau est integre l' une des deux equations est égal à 0
donc (a-b)=0 vérifie a=b
et comme (a²+ab+b²) et (a(a(a^4+a3+a^3+a3b+a²b²+ab+ab+ab^3+b4+b^4+b4)
sont positifs
a=b=0 verifie le systèmedonc a=b
me suis-je trompé??
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Zzz6918 dernière édition par
???