La formule de Wallis



  • Soit n un entier naturel et In=0π2sinnxdx\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin^{n}xdx}.
    1)En intégrant par parties, montrer que, pour tout n \gg2, on a :
    In= n1nin2\frac{n-1}{n}i_{n-2} (1)

    1. Calculer Io et I1 et prouver par récurrence que :
      I2n=1x3x5...x(2n1)2x4x6x...x2nxπ2,n1;\frac{1x3x5...x(2n-1)}{2x4x6x...x2n}x\frac{\pi }{2},n\gg 1;
      I2n+1=2x4x6...x2n1x3x5x...x(2n1)x1(2n+1),pourn0\frac{2x4x6...x2n}{1x3x5x...x(2n-1)}x\frac{1}{(2n+1)},pour n\gg 0
    2. a) En revenant à la définition de In sous forme d'intégrale.
      Montrer que In-(In-1) est l'intégrale d'une fonction positive.
      En déduire que la suite (In) est décroissante.
      b) Établir que n1nin1inin1\frac{n-1}{n}in-1\ll in \ll in-1
      c) Montrer alors que lim+infi2n+1i2n=1\lim_{+inf}\frac{i2n+1}{i2n}=1
      Établir la formule de Wallis:
      lim+inf(2x4x6x...x2n1x3x5x...x(2n1))2x12n+1=π2\lim_{+inf}(\frac{2x4x6x...x2n}{1x3x5x...x(2n-1)})^{2}x\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi }{2}

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