La formule de Wallis

[Nidal]

Soit n un entier naturel et In=${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx$.
1)En intégrant par parties, montrer que, pour tout n $\gg$2, on a :
In= $\frac{n-1}{n}{i}_{n-2}$ (1)
2) Calculer Io et I1 et prouver par récurrence que :
I2n=$\frac{1x3x5...x(2n-1)}{2x4x6x...x2n}x\frac{\pi }{2},n\gg 1;$
I2n+1=$\frac{2x4x6...x2n}{1x3x5x...x(2n-1)}x\frac{1}{(2n+1)},pourn\gg 0$
3) a) En revenant à la définition de In sous forme d'intégrale.
Montrer que In-(In-1) est l'intégrale d'une fonction positive.
En déduire que la suite (In) est décroissante.
b) Établir que $\frac{n-1}{n}in-1\ll in\ll in-1$
c) Montrer alors que ${\lim }_{+inf}\frac{i2n+1}{i2n}=1$
Établir la formule de Wallis:
${\lim }_{+inf}(\frac{2x4x6x...x2n}{1x3x5x...x(2n-1)}{)}^{2}x\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi }{2}$