Dm: Etude d'une limite à l'infini

Bonjour à tout le monde !

Voila j'ai un petit problème sur un Devoir maison que je doit faire... J'ai réussi à réponde à la première question, ainsi qu'a une partie de la seconde, mais pour la suite je bloque malgré quelques idées qui n'ont pas aboutis...

Mon sujet:

Etude d'une limite à l'infini

a,b et c sont des nombres réels non nuls.

Soit la fonction g définie par : g(x): $ax^3$ )/x+1) + $bx^3$ )/x+2) + $cx^3$ )/x+3) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

a. Montrer que C admet trois asymptotes verticales.
b. Quelles relations doivent vérifier a,b et c pour que C admette une asymptote oblique ? Vérifier que si a=b et c=-2a les relations précédentes sont vérifiées. Quelle est alors l'équation de l'asymptote oblique ?
c.Peut-on avoir une asymptote horizontale ?

Mes réponses:

a. J'ai trouver les valeurs interdites des 3 termes de l'équation qui sont respectivement x=-1, x=-2, et x=-3. Puis j'ai étudier la limite de la fonction en ses 3 valeurs interdite ce qui m'a permis de trouver les 3 asymptotes vertical en x=-1, x=-2 et x=-3.

b. La relation pour une asymptote oblique est : ax + b + c/dénominateur de la fonction.

C'est à partir de ce point que je bloque un peu, où a=b et c=-2a. J'ai mis l'équation de départ sous le meme dénominateur en pensant que sa m'aiderais, ainsi que l'équation de l'asymptote oblique pour procéder par identification ensuite, mais aucunes de ses pistes n'a aboutis...

Voila, pourriez vous m'expliquer comment il faut procéder pour la suite s'il vous plais ?

Merci, et bonne journée à tous

Bonjour Hawd,

Question a) Ok

Question b)
Citation
b. La relation pour une asymptote oblique est : ax + b + c/dénominateur de la fonction.
Attention, ce ne sont pas les mêmes réels "a, b et c" que dans la définition de g(x) !
Il faut considérer d’autres réels, m et p par exemple.

La courbe Cg admet une asymptote oblique d’équation y = mx + p en –∞ (resp +∞) ssi g(x)-(mx+p) tend vers 0 en –∞ (resp +∞), m et p étant deux réels.

Tu calcules g(x)-(mx+p) en mettant le tout au même dénominateur . . . c’est un peu lourd je sais, mais je ne vois pas de solution plus soft.

Tu devrais obtenir une expression de la forme :

$a+b+c)x^5$ + (plein de trucs de degré < 5)] / $x^3$ +6x²+11x+6)

Et il faut que la limite de cette expression tende vers 0 en –∞ et en +∞.
Or la limite d’une fonction rationnelle quand x tend vers l’infini est la même que celle du quotient de ses termes de plus haut degré . . .

Tu aboutis alors à la condition sur a,b et c pour que g(x)-(mx+p) tende vers 0 au voisinage de l’infini.

Citation
Vérifier que si a=b et c=-2a les relations précédentes sont vérifiées

Ca c’est alors facile

Citation
Quelle est alors l'équation de l'asymptote oblique ?
Citation
J'ai mis l'équation de départ sous le meme dénominateur en pensant que sa m'aiderais, ainsi que l'équation de l'asymptote oblique pour procéder par identification ensuite, mais aucunes de ses pistes n'a aboutis...

Ca me semble être la bonne méthode pourtant.
Mais si tu as conservé les mêmes paramètres a et b pour l’équation de l’asymptote et pour la fonction g, ça ne peut pas marcher.

Avec a=b et c=-2a, la fonction g devient :

g(x) = $3ax^4$ + $5ax^3$ ) / $x^3$ +6x²+11x+6) sauf erreur de ma part

Cg admet une asymptote oblique d’équation y = mx+p en –∞ (resp +∞) ssi il existe une fonction φ telle que :

g(x) = (mx+p) + φ(x)

avec

lim φ(x) = 0
x -> -∞ (resp +∞)

φ sera de la forme :

φ(x) = (αx² + βx + γ) / $x^3$ +6x²+11x+6)

A partir de g(x) = (mx+p) + φ(x) et en procédant par identification, tu vas trouver m et p en fonction de a, ce qui détermine l'asymptote.
Tu trouveras aussi α, β et γ en fonction de a par la même occasion.

Enfin, à la calculette, tu peux vérifier ton résultat en choisissant une valeur de a. (a=1, a=2 par ex)

Citation
c.Peut-on avoir une asymptote horizontale ?
Une fois l'équation de l'asymptotedéterminée, tu devrais t’en sortir pour cette question.

Ouf . . . C'est plus fastidieux que difficile, faut juste s'accrocher.

Bonsoir Galaxie.

Merci beaucoup pour ton aide, grâce à toi j'ai pu enfin venir à bout de ce devoir maison =).
En fait j'ai bien développé g(x) pour mettre tout les termes sous le même dénominateurs mais j'avais mal factorisé mes termes ne me permettant pas d'en déduire une asymptote oblique par la suite, et aprés avoir reussi a faire cela et à l'aide de tes explications le reste de l'exercice ne m'a poser que peut de problèmes !

Encore merci d'avoir pris un peu de ton temps pour m'aider.

Bonne soirée et bonne continuation

Amicalement Hawd

Parfait.

Attention toutefois à la toute dernière question . . . l'énoncé précise :
Citation
a,b et c sont des nombres réels non nuls