nombres complexes dans un plan


  • M

    bonjour à tous le monde 😃

    j'ai deux exos types bac à faire mais je n'y arrive pas car je ne sais jamais justifier et parfois je ne sais même pas ce qu'il faut faire
    je vous donne l'énoncé:
    On a un plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v), on,associe à tout point M d'affixe z non nulle, le point M' milieu du segment [M M1], où M1 est le point d'affixe 1/z
    Le point M' est appelé l'image de M

    1- montrer que les distance OM et OM1 vérifient la relation OMOM1=1 (=multiplier) et que les angles (vect u ; vect OM1) et (vect u ; vect OM) vérifient l'égalité des mesures suivantes (vect u ; vect OM1)=-(vect u ; vect OM1) à 2pi près

    2- a)Justifier que pour tout nombre complexe z non nul, le point M' a pour affixe: z'= 1/z *(z+(1/z))
    b) soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives de B et C.

    3- Déterminer l'ensemble des points M tels que M'=M
    4- Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.

    voilà j'ai essayé de chercher les réponses mais je n'arrive à rien... Qu'elqu'un pourait m'aiider svp 😃


  • Zorro

    Bonjour,

    As tu compris la relation qui existe entre |z| et OM quand M a pour affixe z ?


  • M

    pour la première:
    OMOM1=|z||1/z|
    = |z|/|z|=1
    par contre pour l'autre, je ne vois pas de relation
    ESt ce que mon premier calcul est correct déjà ??


  • I

    Bonjour,

    Oui, je détaillerais un peu plus chaque étape pour faire apparaître les règles de calcul utilisées :

    OM×OM1 = |z|×|z1z_1z1| = |z|×|1/z| = |z|×(|1|/|z|) = |z|×(1/|z|) = |z|/|z| = 1


  • I

    Concernant les angles, il faut utiliser le fait que :

    arg(z) est une mesure de l'angle (u→(u^\rightarrow(u;OM→OM^\rightarrowOM)
    et
    arg(z1arg(z_1arg(z1) est une mesure de l'angle (u→(u^\rightarrow(u;OMOMOM_1→^\rightarrow)

    Calcule arg(z1arg(z_1arg(z1) = arg(1/z) = . . .


  • M

    okay aloers j'ai trouvé :
    (u,OM)= arg (z) =arg(z)-arg(1)=[arg(1)-arg(z)] = -arg(1/z)= -(u; OM1)
    par contre pour la suite du DM je ne trouve pas de solutions... Peux tu m'aider...?


  • I

    Je serais aller dans l'autre sens, mais bon !
    arg(z1) = arg(1/z) = arg(1) - arg(z) = 0 - arg(z) = -arg(z)

    arg(z) est une mesure de l'angle (u→(u^\rightarrow(u;OM→OM^\rightarrowOM)
    et
    arg(z1) est une mesure de l'angle (u→(u^\rightarrow(u;OMOMOM_1→^\rightarrow)
    donc : (u→(u^\rightarrow(u;OM→OM^\rightarrowOM) = −(u→-(u^\rightarrow(u;OMOMOM_1→^\rightarrow) à 2pipipi près


  • I

    question 2a)

    Que dis ton cours sur l'affixe du point I milieu de [AB] ?

    Tu l'appliques ici : M'(z') milieu de [M M1M_1M1] avec M(z) et MMM_1(z1(z_1(z1) donc z' = ...

    Par contre je trouve z' = (1/
    2)×(z+(1/z))
    Tu peux vérifier ton énoncé ?


  • I

    Question 2b)
    Citation
    Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives de B et C.

    B d’affixe 2i, B1B_1B1 d’affixe 1/(2i) et B’ d’affixe b’ image de B par la transformation.

    D’après 2a)

    b' = (1/2)[2i + 1/(2i)] = . . .

    idem pour C’

    Place ces 6 points sur un graphique pour vérifier tes résultats. B' doit être milieu de [B B1B_1B1] et C' milieu de [C C1C_1C1].


  • I

    Question 3)
    Citation
    3- Déterminer l'ensemble des points M tels que M'=M
    Quelle est la condition pour que les points M et M' soient confondus ?


  • I

    Question 4)
    Citation
    Montrer que si le point M appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image M' appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives -1 et 1.

    M d'affixe z appartient au cercle de centre O et de rayon 1 ssi ... quoi ?

    Voilà de quoi bien avancer je pense.


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