Résoudre le problème d' Al-Khuwarizmi

Bonjour

Je dois résoudre un devoir maison concernant le problème d'al-khuwarzimi.

Voici l'énoncé :

1. Le mathématicien arabe al-Khuwarizmi cherchait la longueur x telle que l'aire du rectangle AEFD soit égale à 21.

a) Vérifier que x est solution de l'équation x² = -4x + 21

b) Voici les courbes d'équations y = x² et y = -4x + 21 à l'écran d'une calculatrice.

Sachant que la fenêtre graphique montre les valeurs de x dans l'intervalle [-8;+8], proposer une résolution graphique de cette équation. Valider par le calcul les solutions proposées.

c) Pour résoudre son problème al-Khuwarizmi a eu l'idée de découper BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions (x et 2) et de former le grand carré ci-contre. Recopier et compléter l'égalité : x² + 4x = (x + 2)² - ....

d) En déduire la résolution algébrique de l'équation et le nombre de solutions du problème de al-Khuwarizmi.

2. En utilisant l'égalité de la question 1.c), résoudre algébriquement les équations :

a) x² = -4x + 3 b) x² + 4x = -1 c) x² + 4x = -5

J'èspère que vous pourrez m'aider
Merci

Bonjour jeune homme

qu'as-tu su faire ? qu'est-ce qui te pose problème ?
à quoi précisément veux-tu que quelqu'un t'aide ?

c'est en répondant à de telles interrogations que tu susciteras l'arrivée de l'aide attendue.

salutations

Bonjour,
Il manque des données.
Par exemple, quel lien entre la longueur et la largeur du rectangle ?

Le rectangle AEFD a une largeur x et une longueur 4+x. A l'intérieur du rectangle AEFD, le carré ABCD a des cotés de longueur x.
On sait que l'air du rectangle ABCD est x² et l'aire du rectangle BEFC est 4x.

Les questions qui me posent principalement un probleme sont la 1.b), la 1.d)
et la question 2. J'ai en partie résolu ces questions mais ce n'est pas complet et je cherche également à vérifier mes résultats.

Pour la 1)b, tu dois lire les valeurs de x sur le graphique : abscisses des points d'intersection.
Quelles valeurs lis-tu ?

J'ai trouvé que les coordonnées des points d'intersection des deux courbes étaient A ( -7 ; 49 ) et B( 3 ; 9 ).
Mais comment "valider par le calcul ?" Je suis sure que c'est très simple pourtant..

On te demande de vérifier par le calcul, c'est-à-dire de savoir si les valeurs trouvées pour x sont bien solutions de l'équation :
On veut x² = -4x + 21
Est-ce vrai si x = -7 ?
Et si x = 3 ?

Effectivement enfait c'est très simple ^^' ..
Merci beaucoup

Tu sais faire la 1)d) ?
Il faut d'abord répondre à la 1)c)

La 1.c) est plutot simple :
L'équation est x² + 4x = (x+2)² - 4

Mais la 1.d) me pose plus de problèmes..

L'équation à résoudre est x² = -4x + 21
ou encore : x²+4x-21 = 0
Or, x²+4x = (x+2)² - 4, donc ...

J'essaye plein de choses, mais j'arrive toujours à la conclusion x=x , ce qui est logique, mais je n'arrive pas à déduire des équations les solutions de x

Reprends :
x²+4x-21 = 0
Or,
x²+4x=
(x+2)² - 4,
donc
x²+4x-21 =

...
x² + 4x -21 = (x+2)² -4 -21 ?

Continue :
x²+4x - 21 = (x+2)² - 25
= ?? Factorise le tout

Déjà, x² + 4x -21 = (x+7) (x-3 )
Mais je n'arrive pas à factoriser x² +4x -21 : il n'y a aucun facteur commun et on ne peut reconnaître aucune identité remarquable.

Si :
Citation
x²+4x - 21 = (x+2)² - 25
= ?? Factorise le tout25 = 5²
Donc (x+2)² - 25 = (x+2)² - 5² est de la forme A² - B² : tu sais factoriser cela.

Mais d'où vient le -25 ? on part de l'expression x² + 4x -21 ..

stcharles
...
x² + 4x -21 = (x+2)² -4 -21 ?
-4 - 21 = -25 ?

Oui mais d'où vient le -4 ?

Citation
La 1.c) est plutot simple :
L'équation est x² + 4x = (x+2)² - 4
Tu as l'air perdu.
x² + 4x = (x+2)² - 4
Donc x²+4x - 21 = (x+2)² -4 -21 = (x+2)² - 5²

Oula effectivement j'étais un peu perdue.. C'est logique..
Donc enfait les solutions sont 3 et -7 n'est ce pas ?

Là tu vas trop vite.
L'équation est équivalente à celle-ci :
(x+2)² - 5² = 0
Factorise (x+2)² - 5² qui est de la forme A² - B²

(x+2)² - 5² = [(x+2)+5] [(x+2)-5] =0
0 = (x+7) (x-3)
Or si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est égal à zéro,
Donc x+7 = 0 ou x-3 = 0
D'ou x = -7 ou x = 3

Cette fois on y est.
Tu retrouves bien tes deux solutions.

Pour la 2), c'est pareil : tu as toujours x²+4x que tu peux réécrire, et ensuite cela dépend du dernier nombre.

Je crois que j'ai compris maintenant
Merci beaucoup de m'avoir aidée !
A bientôt

De rien.
A+

Bonjour perdu.
Pose tes questions.

I:0. Le mathématicien al-Khuwarizmi cherchait la longueur x telle que l'aire du rectangle AEFD soit égale à 21

(ABCD, carré de côté x. BEFC, rectangle de longueur 4 et de largeur x)

a. Vérifier que x est la sol. de l'équation x²=-4x+21
b Voici les courbes d'équations y= x² et y= -4x+21. Sachant que la fenêtre graphique montre des valeures de x dans l'intervalle [-8; + 8], proposer une résolution graphique de cette équation
Valider le calcul les solutions proposées
c. Pour résoudre son problème, al K... a eu l'idée de découper BEFC en deux rectangles de mêmes dimentions (x et 2) et de former le grand carré.
Recopier et compléter l'égalité: x²+4x=(x+2)²-...
d. En déduire la résolution algébrique de l'équation et le nombre de solutions du problème d'al K... ( je sais que c'est 3 et -7 mais je sais pas le justifier)

En utilisant l'égalité de la question 1. c. résoudre algébriquement les équations:
a. x²=-4x+3 b.x²+4x=-1 c.x²+4x=-5

Ce serais gentil de ta part de me répondre s'il te plais et j'espere que je ne te dérange pas trop

voila alors je ne sais pas comment répondre au 1 a

As-tu fait une figure ?
Quelle est l'aire du rectangle AEFD ?

l'aire du rectangle= Ll soit 4x=4x

Non : la largeur est x, mais la longueur vaut 4 de plus : quelle est la longueur ?
Quelle est l'aire du rectangle ?

rectangle=4x rectangle+carré (c'est aussi un rectangle)=4x+x²

Et on veut que cette aire soit égale à 21.
Ecris l'égalité correspondante.

alors .... x²+4x=21

Qui peut bien s'écrire aussi x² = -4x + 21
Cela répond à ta question ?
Pour le reste, je ne vais pas refaire ce que j'ai déjà dit : relis les questions et les réponses tout en essayant de répondre toi-même.

merci beaucoup ^^

De rien.
A+

Une derniere question. Que faut il faire dans le 2 a. b. et c. ? Faut t-il résoudre l'équation ???? Si oui comment car il n'y a pas de facteurs communs ????? Merci bien :frowning2: :frowning2: