Dresser le tableau de variation et de signe d'une fonction avec racine carrée

Bonjour, je demande de l'aide une nouvelle fois pour un exercice de devoir maison. Pour tous ceux qui peuvent m'aider je les remercie.
Voici l'exercice: Un cas non Rationnel

On souhaite résoudre sur [0; +∞[ l'équation √(x+1)=2x-1 (E). On considère donc la fonction g définie sur [0; +∞[ par g(x)=2x- √(x+1)

Calculer g'(x) et expliquer pourquoi pour tout x ≥0 on a g'(x)>0.

2.Dresser le tableau de variation de g ( Sans calculer lim x→+∞ g(x))

3.Calculer g(3). Combien l'équation (E) admet-elle de solution?

4.Déterminer un encadrement à 10-² près (en justifiant) de chaque solution

Alors mes réponses :

g'(x)= 2- 1/2√(x+1)
g'(x)>0 car la racine carrée est strictement supérieur 0.
La fonction est strictement croissante

Puis la 3 et la 4, je n'ai pas vraiment compris!

Merci pour votre aide!!

Bonjour,

Ta démonstration de g'(x) ne démontre rien.

Ce n'est pas parce que X > 0 , que 2 - 1/2 * X est positif ....

Il faut faire une démonstration qui se tienne.

x > 0 donc x + 1 > 1 (ajouter 1 , à chaque terme d'une inégalité ne change pas cette inégalité)

donc $s q r t$ (x+1) > 1 (car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[

donc 1/ $s q r t$ (x+1) < 1 (car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[

donc 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) < 1/2 (car multiplier les 2 termes d'une inégalité par un nombre positif ne change pas cette inégalité)

donc - 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) > -1/2 (car car multiplier les 2 terme d'une inégalité par un nombre négatif change cette inégalité)

donc 2 - 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) > 2 - 1/2 (car additionner 2 aux 2 termes d'une inégalité ne change pas cette inégalité)

donc 2 - 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) > 1/2 > 0

Comprends tu ?

Cookie-mélo
3.Calculer g(3). Combien l'équation (E) admet-elle de solution?

4.Déterminer un encadrement à 10-² près (en justifiant) de chaque solution

Puis la 3 et la 4, je n'ai pas vraiment compris!
Bonjour Cookie,

√(x+1) = 2x - 1 (E) ⇔
2x - √(x+1) = 1 ⇔
g(x) = 1

Donc, résoudre (E) est équivalent à résoudre g(x) = 1

Je suppose que tu t’étonnes de trouver g(3) = 4 . . . une valeur qui ne semble pas particulière.

Mais si tu remarques que g(3) > 1 et que tu places ce point sur ton tableau de variation, à droite du point g(0) < 1, vois-tu comment répondre à la question ?

Dis autrement : 1 ∈ ]g(0) ; g(3)[, g est définie et strictement croissante sur [0 ; +∞[. Et si tu montrais ensuite que g est également continue sur [0 ; +∞[ . . . tu vois où je veux en venir ?

Par contre, pour la 4) je ne vois pas comment trouver un encadrement à $10^{-²}$ près sauf par tâtonnement ou à la calculette. Surtout qu’à $10^{-2}$ près, on tombe sur la valeur exacte ! Je fais peut-être une erreur ou je passe à coté de quelque chose ?!

Zorro
Bonjour,

Ta démonstration de g'(x) ne démontre rien.

Ce n'est pas parce que X > 0 , que 2 - 1/2 * X est positif ....

Il faut faire une démonstration qui se tienne.

x > 0 donc x + 1 > 1 (ajouter 1 , à chaque terme d'une inégalité ne change pas cette inégalité)

donc $s q r t$ (x+1) > 1 (car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[

donc 1/ $s q r t$ (x+1) < 1 (car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[

donc 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) < 1/2 (car multiplier les 2 termes d'une inégalité par un nombre positif ne change pas cette inégalité)

donc - 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) > -1/2 (car car multiplier les 2 terme d'une inégalité par un nombre négatif change cette inégalité)

donc 2 - 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) > 2 - 1/2 (car additionner 2 aux 2 termes d'une inégalité ne change pas cette inégalité)

donc 2 - 1/2 * 1/ $s q r t$ (x+1) > 1/2 > 0

Comprends tu ?

Bonjour,

La démonstration de Zorro est pourtant complète et détaillée, difficile d'être plus clair.

Citation

g'(x)= 2- 1/2√(x+1)
g'(x)>0 car la racine carrée est strictement supérieur 0.
Tout d'abord attention aux parenthèses, je suppose que tu as voulu écrire : g'(x)= 2- 1/[2√(x+1)]

Tu ne peux pas annoncer " g'(x)>0 car la racine carrée est strictement supérieure à 0 "

Par exemple, 1/8 > 0 et pourtant 2- 1/[2×(1/8)] < 0 donc le fait que la racine soit positive ne suffit pas.

Il faut partir de ce que l'on sait, cad x≥0 puis démontrer pas à pas que g'(x)>0

Oui, j'ai compris un tout petit peu, mais dans la rédaction de ma réponse je ne vois pas comment faire, car je ne peux pas faire un tableau de signe avec une différence!
Désolé mais je crois que j'ai mal écrit ma dérivée: 2 -(1/ 2√x+1), car dans l'explication je ne comprends pas bien

Dans ta dérivée √(x+1) est bien au dénominateur ?

C'est pas ça :

$g′(x)=2−12×1(x+1)g'(x)=2-\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{(x+1)}}$

Effectivement, un tableau de signe ne marche pas ici, il faut une démonstration par inégalité. tu n'as jamais fait ça ?

Pour la rédaction, il suffit de reprendre le post de Zorro en partant de l'hypothèse que x est positif ou nul :

g définie sur [0; +∞[ donc pour tout x de Dg :

x ≥ 0

⇔ x + 1 ≥ 1

⇔ √(x+1) ≥ 1 car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[

⇔ 1/√(x+1) ≤ 1/1 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[

⇔ 1/√(x+1) ≤ 1

⇔ 1/2 * 1/√(x+1) ≤ 1/2

⇔ - 1/2 * 1/√(x+1) ≥ -1/2

⇔ 2 - 1/2 * 1/√(x+1) ≥ 2 - 1/2

⇔ 2 - 1/2 * 1/√(x+1) ≥ 1/2

⇔ g'(x) ≥ 1/2

Or 1/2 > 0 donc pour tout x ∈[0 ; +∞[, g'(x) > 0

Edit : La fonction g est donc strictement croissante sur son ensemble de définition [0 ; +∞[

Tu as bien trouvé ce résultat pour g' ?

$g′(x)=2−12×1(x+1)g'(x)=2-\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{(x+1)}}$

Pour la question 2), tu as compris mon post du 01.12.2009, 17:09 ?

g est définie, continue et strictement croissante sur [0 ; 3]
1 ∈ [g(0) ; g(3)] car -1 < 1 < 4

donc d'après le . . . l'équation g(x) = 1 . . . telle que . . .

Oui j'ai bien trouver cette dérivée! Et j'ai compris avec beaucoup de temps la réponse à la question 2)
Oui je comprends je dois utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour répondre à la question 3)? si je comprends bien!!

Bonjour,

Oui utilise ce théorème.

Oui, merci de votre aide. J'ai toujours du mal avec les exercices en math, car j'ai ce problème de compréhension des énoncés! Mais pouvez vous m'aider pour la dernière question car j'ai beaucoup de mal!

Pour la question 4, tu utilises le tableau de variation et ta calculatrice.

Oui mais la calculatrice ne me donne la solution pour g(x)=1!!

Bonsoir,

g(x) = 1 ⇔ g(x)-1 = 0

Si tu veux utiliser le solveur de la calculette, tu peux saisir g(x)-1 et obtenir la valeur de x qui annule cette expression.

Bah justement je sais pas le faire à la calculatrice , je trouve que la valeur qui s'annule en 0 et pas en 1!!

Quel type de calculatrice as tu ?

Recherche la valeur qui correspond à l'aide du graphe puis cherche un encadrement.

J'ai la Grah 35 +!
Je sais faire les racines mais pas g(x)-1=0!

je ne connais pas la graph 35 +
Mais peux tu tracer g(x) et y = 1 et chercher les coordonnées du point d'intersection ?

Ouais je pense faire ça mais comme dans l'exercice un encadrement , alors que la j'aurais quelque chose d'assez précis!

La calculatrice te donne une valeur approchée. Tu affines à partir du tableau de valeurs de la calculatrice.

En fait comme précisé par Iron, à la calculatrice on trouve la valeur exacte.