histoire de triangle



  • bonjour,j'ai un petit soucis avec un exercice
    On considere un triangle quelconque ABC et on designe par A,B,C les angles de ce triangle.On demande:
    de demontrer les relations:
    a) cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)=1-2cos(a)cos(b)cos(c)
    b) sin^2(a)+sin^(b)+sin^2(c)=2+2cos(a)cos(b)cos(c)

    j'ai fait: a+b+c=pi donc a+b=pi-c donc cos(a+b)=cos(pi-c)=-cos(c)

    cos^2(a)+cos^2(b)=[cos(a)+cos(b)]^2-2cos(a)cos(b)

    or cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
    j'ai remplacé ds le membre de gauche de la relation,j'obtient:

    cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)=4cos^2((a+b)/2)cos^2((a-b)/2)-2cos(a)cos(b)-cos^2(c)

    A partir d'ici je remplace cos^2(c) par cos^2(a+b) mais je tourne en rond.Si quelqu'un voit quelque chose merci d'eclairer ma lanterne



  • pour le 1)

    en posant E=cos²(a)+cos²(b)+cos²(c)

    j'ecris que cos²a=1/2+1/2.cos2a

    et pareil pour cos²b et cos²c

    j'obtiens donc:

    E=3/2+1/2.(cos2a+cos2b+cos2c)

    en isolant cos2a+cos2b cela fait 2cos(a+b)cos(a-b), issu de la formule

    cosp+cosq=2(cos(p+q)/2).cos((p-q)/2)

    alors E=3/2+cos(a+b).cos(a-b)+1/2.cos2c

    comme cos2c=2cos²c-1 , alors cos2c=2.cos²(pi-(a+b))-1=2.cos²(a+b)-1

    alors E=3/2+cos(a+b).cos(a-b)+1/2.cos2c=3/2+cos(a+b).cos(a-b)+1/2.
    (2cos²(a+b)-1)=1/2+cos(a+b).cos(a-b)+cos²(a+b)

    soit E=1/2+cos(a+b)(cos(a+b)+cos(a-b))=1/2+cos(a+b)(2cosa.cosb)
    =1/2+cos(pi-c)).2.cosa.cosb=1/2+(cospi.cosc+0).2cosa.cosb=1/2-2cosa.cosb.cosc.

    voila en esperant que cela puisse t'aider


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