Etude du sens de variation, signe et asymptotes d'une fonction rationnelle



  • Bonjour,

    Voici un exercice que j'ai commencer et dont je suis bloqué a une question

    voici l'enoncé:

    On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 - 4 / x² + 1
    et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité: 1cm).
    1° Etude d'une fonction auxiliaire
    On pose g(x) = x^3 + 3x + 8
    a) Etudier le sens de variation de g sur R et montrer que l'équation g(x) = 0 admet sur R une unique solution a dont on donnera un encadrement d'amplitude 0.1.

    b) Préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

    2a) Calculer f '(x) et preciser le sens de variation de f
    b) etudier les limites de f en + infini et - infini puis dresser le tableau de variations de f

    3a)Montrer qu'il existe quatre reels a, b, c, d tels que:
    f(x) = ax+b+ (cx+d/x²+1)

    b) en deduire que C admet une asymptote oblique delta, et etudier la position de C par rapport a delta.
    Verifier que f(a) 3/2 en deduire une valeur approchee de f(a)

    voici ce que j'ai fait est ce bon??
    ALORS
    1a) g est derivable sur R pour tout reel x
    g ' (x)= 3x² + 3

    g' (x) est untrinome du second dégré le coefficient du terme en x² est positif (3>0). on en deduit que g ' (x) est positif si x appartient a ]-oo;+oo[ et est négatif sinon. On en deduit le tablo d'avancement

    x -oo +oo
    f' +
    f +oo
    0
    -oo

    f est strictement croissante!!!

    dapres le tableau de variation, g(x) = 0 admet une unique solution reele a et a appartient a ]-oo;+oo[

    est ce bon c la que je bloque??

    Merci



  • Bonsoir fany,

    Ne mélange pas g et f !

    Citation
    1a) g est derivable sur R pour tout reel x
    g ' (x)= 3x² + 3
    Ok

    Citation
    g' (x) est untrinome du second dégré le coefficient du terme en x² est positif (3>0). on en deduit que g ' (x) est positif si x appartient a ]-oo;+oo[
    et est négatif sinon
    Hummm ...

    Comment étudie-t-on le signe d'un polynôme du 2nd d° ?



  • La fonction f, c'est bien ça ? :

    f(x)=x3−4x2+1f(x)=\frac{x^{3}-4}{x^{2}+1}f(x)=x2+1x34



  • Pas de réponse ? ...

    Pour le signe de g'(x)= 3x² + 3, tu peux faire simple ou exprimer autrement ce que tu as noté.

    Citation
    a) Etudier le sens de variation de g sur R et montrer que l'équation g(x) = 0 admet sur R une unique solution a dont on donnera un encadrement d'amplitude 0.1.
    Tu sembles bloquer la dessus
    tu dresses le tableau de variation de la fonction g puis tu calcules les limites aux extrémités (-∞ et +∞)
    tu constates que 0 ∈ g(]-∞ ; +∞[)
    tu montres que g est aussi ... sur mathbbRmathbb{R}mathbbR, tu peux alors utiliser ...quoi?... pour montrer que g(x) = 0 admet sur R une unique solution.

    De quoi avancer un peu.



  • oui c bien cette fonction



  • Ok pour f, dans ton énoncé, il aurait fallu mettre des parenthèses : f(x) = (x3(x^3(x3 - 4) / (x² + 1)

    Ou en es-tu ?

    Tu as montré que g(x)=0 admet une solution unique? Tu as fini l'étude du signe de g ? Quelle encadrement obtiens-tu pour a ?

    Tu n'as pas répondu à mon post du 07.12.2009, 18:25

    Citation
    dapres le tableau de variation, g(x) = 0 admet une unique solution reele a et a appartient a ]-oo;+oo[

    En Ts, je doute que cette justification soit suffisante.

    Citation
    2a) Calculer f '(x) et preciser le sens de variation de f
    Dans l'expression de f', fais en sorte de faire apparaître g(x), tu pourras utiliser le tableau de signe de g question 1) pour étudier le signe de f'.


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