Etudier les variations d'une suite et donner un encadrement par récurrence

${U_0$=4 $U$ _{n+1} $= 1 / 2 (U$ _n $9/U_n$ )
1)Montrer que pour tout n appartenant à N $U_n$ >3
2)Variation de $U_n$ )
3)Montrer que par récurrence, $U_n$ -3< $1/2^n$
J'ai commencé :

*montrons que la propriété est vraie au premier rang , n=0
on a $U_0$ =4 et 4>3 donc $U_0$ >3 donc la propriété est vraie au premier rang
*supposons que pour un entier naturel quelconque fixé la propriété est vraie , c'est à dire $U_n$ >3
montrons alors que la propriété est vraie au rang n+1,c'est à dire $U_{n+1}$ >3
on a $U$ _{n+1} $= 1 / 2 (U$ _n $9/U_n$ ) d'apres l'hypothèse de recurrence
$U_n$ >3 => $1 / 2 (U$ _n $9/U_n$ )>3
=> $1 / 2 U$ _n $9/2U_n$
Je suis pas sur de ce que j'ai fais et je suis bloqué maintenant .
Merci d'avance

Re
Pour la question 1, on ne te demande pas une démonstration par récurrence.
Etudie les variations de f(x) = 1/2(x + 9/x)

En cours on avait aussi un genre d'exercice comme ca sauf qu'il fallait montrer que $U_{n

Je dois faire quoi alors ?

Ca dépend du problème.
Ta démonstration
Citation
Un>3 =>1/2(Un+9/Un)>3n'en est pas une : tu ne démontres pas l'implication.

D'accord donc j'ai commencé à etudier le sens de variation et j'ai :
f(x)=1/2(x+9/x)
Sur [3,+∞[ :
3<a<b donc a+9/x>b+9/x
=>1/2(a+9/x)<1/2(b+9/x)
=> f(a)<f(b)
donc f est strictement croissante sur [3,+∞[

Je ne comprends pas : qu'est-ce que b ? qu'est-ce que a ?
Tes implications n'ont aucun sens : il y a des nombres mais pas de propriétés.
Pourquoi étudies-tu la fonction sur [+3 ; +∞[ : attention : tu n'as pas encore démontré que un > 3 !!
Par contre, Que peux-tu dire du signe de Un ?

Le signe de $U_n$ est croissant

Le signe !! c'est + ou -

Pourquoi ?

Parce $U_n$ >3

Non : cela on ne le sait pas.
Au début, tu sais seulement :
$U_0$ = 4
$U_{n+1}$ = $1/2)(U_n$ + $9/U_n$ )
Calcule $U_1$ et $U_2$

$U_1$ =25/8
$U_2$ =1201/400

Exact : tu vois qu'ils sont positifs.
$U_0$ est positif, et la formule $U_{n+1}$ = $1/2)(U_n$ + $9/U_n$ ) montre que tous les Un sont positifs ( cela peut être établi par récurrence, mais ici ça me paraît évident ).

Tu peux donc étudier f(x) sur l'intervalle [0 ; +∞[

Je l'ai tapé sur ma calculatrice et elle est croissante mais je n'arrive pas à le montrer avec les calculs

f(x) n'est pas croissante sur l'intervalle considéré.
Pour étudier ses variations, calcule sa dérivée.

Je n'est pas encore vu la dérivée en cours .
Moi je crois qu'il faut plutot le faire avec la méthode de recurrence

Calcule alors $U_{n+1}$ - 3

${U_0$=4 $U$ _{n+1} $= 1 / 2 (U$ _n $9/U_n$ )
Montrer que pour tout n $U_n$ >3

Les messages se sont croisés.
Citation
Calcule alors $U_{n+1}$ - 3

$1 / 2 (U$ _n $9/U_n$ )-3

Oui : effectue le calcul, réduis au même dénominateur.

$1 / 2 U$ _n $9/2U_n$ -3

Attention : le premier Un est "en haut" , le second est en dénominateur.
Ecris de façon précise :
$U_{n+1}$ - 3 = (1/2). $U_n$ + $9/(2U_n$ ) - 3
Et réduis tout au même dénominateur : 2Un :
$U_{n+1}$ - 3 = (... $2U_n$ )

$= (U$ _n $+ 9 + 6 U$ _n $2U_n$ )

Presque : le premier terme est faux, et il y a une erreur de signe sur $6U_n$ .

$U_n$ ² $+ 9 - U$ _n $2U_n$ )

Non : cette fois tu as oublié le 6 :
C'est $U_n$ ² $+ 9 - 6 U$ _n $2U_n$ )
Maintenant, regarde le numérateur : il est remarquable.

On utilise les polynomes ?

$U_n$ ² + 9 - $6U_n$ a une forme particulière: si c'était x² + 9 - 6x tu ne le reconnaîtrais pas ?

C'est $U_n$ +3)²

Non : (Un + 3)² = Un² + 9 + 6Un , et ici c'est Un² + 9 - 6Un

je sais pas alors

$U_n$ -3)²

Oui.

Et maintenant je dois faire quoi ?

On reprend :
$U_{n+1}$ - 3 = $U_n$ - 3 )² $2U_n$ )
Quel est le signe du numérateur ?
Quel est le signe du dénominateur ?

Ils sont tous les deux positifs

Donc $U_{n+1}$ - 3 > 0 , donc $U_{n+1}$ >3
Tu peux passer à la question suivante.