Résoudre un problème sur les vecteurs à l'aide du produit scalaire

[fany97]

Bonjour,
Voici un exercice complexe pour moi!

ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut)
L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE)
On designe par "a" un reel strictement positif.
L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs)
AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG.
1)a)calculer le produit scalaire EM.EL
b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL).
c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a^2+2))/(1+a^2)
d)calculer l'aire du triangle ELM
e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM)
a)demontrer que AM.AK=AP.AK
b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)AK
Demontrer que alpha = a/(a^2+2).
En deduire que P appartient au segment [AK].
c)determiner les coordonnees de P
d)Exprimer PK en fonction de AK
En deduire que PK=(a^2-a+2)/(V(a^2+2)

reponse pr 1 a)
Dans le repère donné :
M(a;0;0), E(0;0;1), L(0;a;0) d'où EM*(a;0-1) et EL*(0;a;-1) ainsi
EM*.EL* = 1.
Par ailleurs EM*.EL* = EM.ELcos(MEL)=... d'où le cosinus recherché :
cos(MEL) = 1/(1 + a²).

et le c)
En conséquence sin² (MÊL) = 1 - cos²(MÊL) = 1 - (1/(1+a²))² = 1 - 1/(a+1)² = (a²+2a)/(a+1)² d'où sin(MÊL) = (a²+2a)1/2/(a²+1) en effet sin(MÊL)> 0 puisque MÊL est aigu.

merci

[Zorro]

Bonjour,

En Terminale S , il faut avoir un peu plus de rigueur dans ce que tu écris !!!

Même en précisant que """"les segments sont des vecteurs"""" je te rappelle que le segment dont les extrémités son A et B se note [AB] , AB représentant la longueur du segment [AB] ... entre autre !

EM*(a;0-1) ne veut rien dire !!! On ne sait pas multiplier un vecteur par des coordonnées ... (en plus il en manque une !!)

Tu as le droit d'écrire que les coordonnées de EL${}^{\to }$ sont (x ; y ; z)

ou EL${}^{\to }$ (x ; y ; z)

mais tu n'as pas le droit d'écrire que EL${}^{\to }$ serait égal à (x ; y ; z)

Un vecteur ne peut pas être égal à un triplet de nombres réels !!

Alors tu reprends correctement , et tu nous dis ce que tu trouves ...